Analysis Beispiele

$(x y + y + y^{2}) d x + (x + 2 y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x y + y + y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + y + y^{2}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y + y + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + 2 y$

Schritt 1.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2 y + 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x + 2 y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.4

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $x + 2 y + 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$x + 2 y + 1 = 1$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$x + 2 y + 1 = 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $x + 2 y + 1$ .

$\frac{x + 2 y + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $1$ .

$\frac{x + 2 y + 1 - 1}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $x + 2 y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $x + 2 y$ .

$\frac{x + 2 y + 1 - 1}{x + 2 y}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{x + 2 y + 0}{x + 2 y}$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $x + 2 y$ und $0$ .

$\frac{x + 2 y}{x + 2 y}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2 y$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 2 y}{x + 2 y}$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int d x}$ .

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Schritt 5.1

Wende die Konstantenregel an.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(x y + y + y^{2}) d x + (x + 2 y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $e^{x}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x y + y + y^{2}$ mit $e^{x}$ .

$(x y + y + y^{2}) e^{x} d x + (x + 2 y) d y = 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x + 2 y) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $x + 2 y$ mit $e^{x}$ .

$(x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x + 2 y) e^{x} d y = 0$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x e^{x} + 2 y e^{x}) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} + 2 y e^{x} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = x e^{x} + 2 y e^{x}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int x e^{x} d y + \int 2 y e^{x} d y$

Schritt 8.2

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x e^{x} y + C + \int 2 y e^{x} d y$

Schritt 8.3

Da $2 e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2 e^{x}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} \int y d y$

Schritt 8.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 8.5

Vereinfache.

$f (x, y) = x e^{x} y + 2 \cdot \frac{1}{2} e^{x} y^{2} + C$

Schritt 8.6

Vereinfache.

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Schritt 8.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

Schritt 8.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = x e^{x} y + \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

Schritt 8.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = x e^{x} y + 1 e^{x} y^{2} + C$

Schritt 8.6.3

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{x} y]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x e^{x} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Schritt 11.3.5

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Schritt 11.4

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ .

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Schritt 11.4.1

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e^{x} y^{2}$ nach $x$ gleich $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Schritt 11.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Schritt 11.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Schritt 11.6

Vereinfache.

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Schritt 11.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Schritt 11.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y + e^{x} y^{2} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Schritt 11.6.3

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y + e^{x} y^{2}$ um.

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $x y e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x}$

Schritt 12.1.2

Subtrahiere $y e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

Schritt 12.1.3

Subtrahiere $y^{2} e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y e^{x} - y^{2} e^{x}$

Schritt 12.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y e^{x} - y^{2} e^{x}$ .

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Schritt 12.1.4.1

Subtrahiere $x y e^{x}$ von $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + y^{2} e^{x} + 0 - y e^{x} - y^{2} e^{x}$

Schritt 12.1.4.2

Addiere $y e^{x} + y^{2} e^{x}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + y^{2} e^{x} - y e^{x} - y^{2} e^{x}$

Schritt 12.1.4.3

Subtrahiere $y e^{x}$ von $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} + 0 - y^{2} e^{x}$

Schritt 12.1.4.4

Addiere $y^{2} e^{x}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} - y^{2} e^{x}$

Schritt 12.1.4.5

Subtrahiere $y^{2} e^{x}$ von $y^{2} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Schritt 13.3

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Schritt 13.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (x) = C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + C$

Schritt 15

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + C$ um.

$f (x, y) = x y e^{x} + y^{2} e^{x} + C$