Analysis Beispiele

$(x y - 1) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x y - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y - 1]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} - x y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - x y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x - y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$x = 2 x - y$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$x = 2 x - y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $x$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 x - y$ .

$\frac{x - (2 x - y)}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $x^{2} - x y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $x^{2} - x y$ .

$\frac{x - (2 x - y)}{x^{2} - x y}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - (2 x) - - y}{x^{2} - x y}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - - y}{x^{2} - x y}$

Schritt 4.3.2.3

Multipliziere $- - y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x - 2 x + 1 y}{x^{2} - x y}$

Schritt 4.3.2.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{x - 2 x + y}{x^{2} - x y}$

Schritt 4.3.2.4

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$\frac{- x + y}{x^{2} - x y}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{- x + y}{x \cdot x - x y}$

Schritt 4.3.3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x y$ heraus.

$\frac{- x + y}{x \cdot x + x (- 1 y)}$

Schritt 4.3.3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 1 y)$ heraus.

$\frac{- x + y}{x (x - 1 y)}$

Schritt 4.3.3.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{- x + y}{x (x - y)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + y$ und $x - y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) + y}{x (x - y)}$

Schritt 4.3.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$\frac{- (x) - 1 (- y)}{x (x - y)}$

Schritt 4.3.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- y)$ heraus.

$\frac{- (x - y)}{x (x - y)}$

Schritt 4.3.4.4

Schreibe $- (x - y)$ als $- 1 (x - y)$ um.

$\frac{- 1 (x - y)}{x (x - y)}$

Schritt 4.3.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (x - y)}{x (x - y)}$

Schritt 4.3.4.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x}$

Schritt 4.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Vereinfache $- \ln (| x |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Schritt 5.4.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(x y - 1) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $x y - 1$ mit $\frac{1}{x}$ .

$(x y - 1) \frac{1}{x} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x y - 1$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $x^{2} - x y$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + (x^{2} - x y) \frac{1}{x} d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $x^{2} - x y$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x^{2} - x y}{x} d y = 0$

Schritt 6.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x \cdot x - x y}{x} d y = 0$

Schritt 6.5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x y$ heraus.

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x} d y = 0$

Schritt 6.5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 1 y)$ heraus.

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x (x - 1 y)}{x} d y = 0$

Schritt 6.5.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x (x - y)}{x} d y = 0$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x (x - y)}{x} d y = 0$

Schritt 6.6.2

Dividiere $x - y$ durch $1$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + (x - y) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x - y d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = x - y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int x d y + \int - y d y$

Schritt 8.2

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x y + C + \int - y d y$

Schritt 8.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x y + C - \int y d y$

Schritt 8.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x y + C - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 8.5

Vereinfache.

$f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x y - 1}{x}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Schritt 11.3.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Schritt 11.4

Da $- \frac{1}{2} y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Schritt 11.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y - 1}{x}$

Schritt 11.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.6.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y + \frac{d g}{d x} = \frac{x y - 1}{x}$

Schritt 11.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + y = \frac{x y - 1}{x}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y - 1}{x} - y$

Schritt 12.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{x y - 1}{x}$ in zwei Brüche.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{- 1}{x} - y$

Schritt 12.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{- 1}{x} - y$

Schritt 12.1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d x} = y + \frac{- 1}{x} - y$

Schritt 12.1.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d g}{d x} = y - \frac{1}{x} - y$

Schritt 12.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y - \frac{1}{x} - y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.3.1

Subtrahiere $y$ von $y$ .

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x} + 0$

Schritt 12.1.3.2

Addiere $- \frac{1}{x}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $- \frac{1}{x}$ , um $g (x)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 13.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 13.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

Schritt 13.5

Vereinfache.

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| x |) + C$

Schritt 15

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x y - \frac{y^{2}}{2} - \ln (| x |) + C$