Analysis Beispiele

$x^{2} d y + (x y + x^{2}) d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x y + x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + x^{2}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y + x^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$x = 2 x$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$x = 2 x$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $x$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 x$ .

$\frac{x - (2 x)}{N}$

Schritt 5.3

Ersetze $N$ durch $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $N$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x - (2 x)}{x^{2}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x - 1 \cdot 2 x$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

Schritt 5.3.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

Schritt 5.3.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 1 \cdot 2 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

Schritt 5.3.2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{x (1 - 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x (1 - 2)}{x^{2}}$

Schritt 5.3.2.3

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{x^{2}}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot - 1$ heraus.

$\frac{x (- 1)}{x^{2}}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x (- 1)}{x \cdot x}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot - 1}{x \cdot x}$

Schritt 5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x}$

Schritt 5.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 6.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Schritt 6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache $- \ln (| x |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Schritt 6.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Schritt 6.4.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $x y + x^{2}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$(x y + x^{2}) \frac{1}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $x y + x^{2}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x$ aus $x y + x^{2}$ heraus.

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{x (y) + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x (y) + x \cdot x}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Schritt 7.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (y) + x \cdot x$ heraus.

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Schritt 7.4.2

Dividiere $y + x$ durch $1$ .

$(y + x) d x + x^{2} d y = 0$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$(y + x) d x + x^{2} \frac{1}{x} d y = 0$

Schritt 7.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

Schritt 7.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

Schritt 7.6.3

Forme den Ausdruck um.

$(y + x) d x + x d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d y$

Schritt 9

Integriere $N (x, y) = x$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x y + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x y + g (x)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y + x$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + g (x)] = y + x$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Schritt 12.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Schritt 12.3.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y + \frac{d g}{d x} = y + x$

Schritt 12.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + y = y + x$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = y + x - y$

Schritt 13.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y + x - y$ .

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Schritt 13.1.2.1

Subtrahiere $y$ von $y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Schritt 13.1.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $x$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Schritt 14.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 15

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 16

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = x y + \frac{x^{2}}{2} + C$