Analysis Beispiele

$(2 x + 6 x^{2} y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x + 6 x^{2} y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + 6 x^{2} y]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 6 x^{2} y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$

Schritt 1.2.2

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $6 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2} y$ nach $y$ gleich $6 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x^{2} \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x^{2}$

Schritt 1.4

Addiere $0$ und $6 x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x^{2}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 3 x^{3} - 2 x y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2 x y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} - 2 x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $x$ gleich $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} - 2 y \cdot 1$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} - 2 y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $6 x^{2}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $9 x^{2} - 2 y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$6 x^{2} = 9 x^{2} - 2 y$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$6 x^{2} = 9 x^{2} - 2 y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $6 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $9 x^{2} - 2 y$ .

$\frac{6 x^{2} - (9 x^{2} - 2 y)}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $3 x^{3} - 2 x y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $3 x^{3} - 2 x y$ .

$\frac{6 x^{2} - (9 x^{2} - 2 y)}{3 x^{3} - 2 x y}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x^{2} - (9 x^{2}) - (- 2 y)}{3 x^{3} - 2 x y}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 9 x^{2} - (- 2 y)}{3 x^{3} - 2 x y}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 9 x^{2} + 2 y}{3 x^{3} - 2 x y}$

Schritt 4.3.2.4

Subtrahiere $9 x^{2}$ von $6 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{3 x^{3} - 2 x y}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{3} - 2 x y$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{x (3 x^{2}) - 2 x y}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x y$ heraus.

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{x (3 x^{2}) + x (- 2 y)}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x^{2}) + x (- 2 y)$ heraus.

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3 x^{2} + 2 y$ und $3 x^{2} - 2 y$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (3 x^{2}) + 2 y}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Schritt 4.3.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{- (3 x^{2}) - (- 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Schritt 4.3.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - (- 2 y)$ heraus.

$\frac{- (3 x^{2} - 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Schritt 4.3.4.4

Schreibe $- (3 x^{2} - 2 y)$ als $- 1 (3 x^{2} - 2 y)$ um.

$\frac{- 1 (3 x^{2} - 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Schritt 4.3.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (3 x^{2} - 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Schritt 4.3.4.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x}$

Schritt 4.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $- \ln (| x |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Schritt 5.4.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(2 x + 6 x^{2} y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $2 x + 6 x^{2} y$ mit $\frac{1}{x}$ .

$(2 x + 6 x^{2} y) \frac{1}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2 x + 6 x^{2} y$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 x + 6 x^{2} y}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x + 6 x^{2} y$ heraus.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 x (1) + 6 x^{2} y}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $2 x$ aus $6 x^{2} y$ heraus.

$\frac{2 x (1) + 2 x (3 x y)}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (1) + 2 x (3 x y)$ heraus.

$\frac{2 x (1 + 3 x y)}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x (1 + 3 x y)}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Schritt 6.4.2

Dividiere $2 (1 + 3 x y)$ durch $1$ .

$2 (1 + 3 x y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Schritt 6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 \cdot 1 + 2 (3 x y)) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(2 + 2 (3 x y)) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(2 + 6 x y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $3 x^{3} - 2 x y$ mit $\frac{1}{x}$ .

$(2 + 6 x y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) \frac{1}{x} d y = 0$

Schritt 6.9

Mutltipliziere $3 x^{3} - 2 x y$ mit $\frac{1}{x}$ .

$(2 + 6 x y) d x + \frac{3 x^{3} - 2 x y}{x} d y = 0$

Schritt 6.10

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{3} - 2 x y$ heraus.

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Schritt 6.10.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2}) - 2 x y}{x} d y = 0$

Schritt 6.10.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x y$ heraus.

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2}) + x (- 2 y)}{x} d y = 0$

Schritt 6.10.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x^{2}) + x (- 2 y)$ heraus.

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2} - 2 y)}{x} d y = 0$

Schritt 6.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2} - 2 y)}{x} d y = 0$

Schritt 6.11.2

Dividiere $3 x^{2} - 2 y$ durch $1$ .

$(2 + 6 x y) d x + (3 x^{2} - 2 y) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 + 6 x y d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = 2 + 6 x y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 2 d x + \int 6 x y d x$

Schritt 8.2

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = 2 x + C + \int 6 x y d x$

Schritt 8.3

Da $6 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6 y$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 x + C + 6 y \int x d x$

Schritt 8.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x + C + 6 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 8.5

Vereinfache.

$f (x, y) = 2 x + 6 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} + C$

Schritt 8.6

Vereinfache.

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Schritt 8.6.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = 2 x + \frac{6}{2} y x^{2} + C$

Schritt 8.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 8.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (x, y) = 2 x + \frac{2 \cdot 3}{2} y x^{2} + C$

Schritt 8.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (x, y) = 2 x + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} y x^{2} + C$

Schritt 8.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = 2 x + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} y x^{2} + C$

Schritt 8.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = 2 x + \frac{3}{1} y x^{2} + C$

Schritt 8.6.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} - 2 y$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [2 x + 3 y x^{2} + g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Schritt 11.2

Differenziere.

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Schritt 11.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3 y x^{2} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Schritt 11.2.2

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 y x^{2}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $3 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y x^{2}$ nach $y$ gleich $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Schritt 11.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$0 + 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$0 + 3 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} - 2 y$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Addiere $0$ und $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} - 2 y$

Schritt 11.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} = 3 x^{2} - 2 y$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} - 2 y - 3 x^{2}$

Schritt 12.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{2} - 2 y - 3 x^{2}$ .

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Schritt 12.1.2.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y + 0$

Schritt 12.1.2.2

Addiere $- 2 y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $- 2 y$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y d y$

Schritt 13.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$g (y) = - 2 \int y d y$

Schritt 13.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 13.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.5.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ um.

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Schritt 13.5.2

Vereinfache.

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Schritt 13.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Schritt 13.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 13.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

Schritt 13.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

Schritt 13.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Schritt 13.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

Schritt 13.5.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$g (y) = - y^{2} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} - y^{2} + C$