Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x e^{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = x e^{x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x e^{x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x e^{x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Schritt 2.3.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Schritt 2.3.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{x^{2}} (2 x)$ um.

$2 e^{x^{2}} x$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{x^{2}} x$ um.

$2 x e^{x^{2}}$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} u_{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{x^{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + K$