Analysis Beispiele

$2 y d y = (x^{2} + 1) d x$

Schritt 1

Integriere beide Seiten.

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Schritt 1.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 1.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 1.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ als $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ um.

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 1.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int d x$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int d x$

Schritt 1.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + x + C_{3}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Schritt 1.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{3} x^{3} + x + K}$

Schritt 2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{3} x^{3} + x + K}$ .

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + x + K}$

Schritt 2.2.2

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + x \cdot \frac{3}{3} + K}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + \frac{x \cdot 3}{3} + K}$

Schritt 2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + x \cdot 3}{3} + K}$

Schritt 2.2.5

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + x \cdot 3$ heraus.

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Schritt 2.2.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 3}{3} + K}$

Schritt 2.2.5.2

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 3$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x (3)}{3} + K}$

Schritt 2.2.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (3)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + K}$

Schritt 2.2.6

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.7.1

Kombiniere $K$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

Schritt 2.2.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3) + K \cdot 3}{3}}$

Schritt 2.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Schritt 2.2.8.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.8.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.8.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{1} x^{2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Schritt 2.2.8.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{1 + 2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Schritt 2.2.8.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Schritt 2.2.8.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 3 \cdot x + K \cdot 3}{3}}$

Schritt 2.2.8.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 3 x + 3 K}{3}}$

Schritt 2.2.9

Schreibe $\sqrt{\frac{x^{3} + 3 x + 3 K}{3}}$ als $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.2.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.11.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.2.11.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.2.11.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.2.11.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.2.11.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.2.11.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.2.11.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.11.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.11.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.11.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.11.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.11.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.2.11.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.2.12

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 3 x + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Schritt 2.2.13

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 3 x + 3 K) \cdot 3}}{3}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Schritt 2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Schritt 2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Schritt 2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Schritt 3

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + K)}}{3}$