Analysis Beispiele

$(x^{2} + y^{2} + 1) d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + 1$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + 1]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2} + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.3

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.5

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Schritt 1.6

Vereine die Terme

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Schritt 1.6.1

Addiere $0$ und $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Schritt 1.6.2

Addiere $2 y$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} - 2 x y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $x$ gleich $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x - 2 y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 y = 2 x - 2 y$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 y = 2 x - 2 y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 x - 2 y$ .

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $x^{2} - 2 x y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $x^{2} - 2 x y$ .

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 y - (2 x) - (- 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 y - 2 x - (- 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 y - 2 x + 2 y}{x^{2} - 2 x y}$

Schritt 4.3.2.4

Addiere $2 y$ und $2 y$ .

$\frac{- 2 x + 4 y}{x^{2} - 2 x y}$

Schritt 4.3.2.5

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 4 y$ heraus.

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Schritt 4.3.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x) + 4 y}{x^{2} - 2 x y}$

Schritt 4.3.2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $4 y$ heraus.

$\frac{2 (- x) + 2 (2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Schritt 4.3.2.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (2 y)$ heraus.

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 2 x y$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x \cdot x - 2 x y}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x y$ heraus.

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x \cdot x + x (- 2 y)}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 2 y)$ heraus.

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + 2 y$ und $x - 2 y$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 (- (x) + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

Schritt 4.3.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{2 (- (x) - (- 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Schritt 4.3.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (- 2 y)$ heraus.

$\frac{2 (- (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Schritt 4.3.4.4

Schreibe $- (x - 2 y)$ als $- 1 (x - 2 y)$ um.

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Schritt 4.3.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Schritt 4.3.4.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Schritt 4.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 5.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Schritt 5.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Schritt 5.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(x^{2} + y^{2} + 1) d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x^{2} + y^{2} + 1$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x^{2} + y^{2} + 1) \frac{1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x^{2} + y^{2} + 1$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $x^{2} - 2 x y$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 2 x y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $x^{2} - 2 x y$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x^{2} - 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.5

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 2 x y$ heraus.

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x - 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x y$ heraus.

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 2 y)}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 2 y)$ heraus.

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 2 y)}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

Schritt 6.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

Schritt 6.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x - 2 y}{x} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x - 2 y}{x} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = \frac{x - 2 y}{x}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} + \frac{- 2 y}{x} d y$

Schritt 8.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

Schritt 8.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \int d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

Schritt 8.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (x, y) = \int d y + \int - \frac{2 y}{x} d y$

Schritt 8.4

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = y + C + \int - \frac{2 y}{x} d y$

Schritt 8.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = y + C - \int \frac{2 y}{x} d y$

Schritt 8.6

Da $\frac{2}{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{2}{x}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = y + C - (\frac{2}{x} \int y d y)$

Schritt 8.7

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = y + C - \frac{2}{x} \int y d y$

Schritt 8.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = y + C - \frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 8.9

Vereinfache.

$f (x, y) = y - \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 8.10

Vereinfache.

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Schritt 8.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{x}$ .

$f (x, y) = y - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Schritt 8.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = y - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Schritt 8.10.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = y - \frac{1}{x} y^{2} + C$

Schritt 8.10.3

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Schritt 11.2

Differenziere.

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Schritt 11.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Schritt 11.2.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $- y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{y^{2}}{x}$ nach $x$ gleich $- y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Schritt 11.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 + 1 y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Schritt 11.3.5

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$0 + y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$0 + y^{2} x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + y^{2} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Schritt 11.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 11.5.2.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0 + \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Schritt 11.5.2.2

Addiere $0$ und $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Schritt 11.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1.1

Subtrahiere $\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (x^{2} + y^{2} + 1)}{x^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2} - 1}{x^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{2} - x^{2} - y^{2} - 1$ .

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Schritt 12.1.1.4.1

Subtrahiere $y^{2}$ von $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0 - 1}{x^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.4.2

Addiere $- x^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} - 1}{x^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.5

Um $\frac{d g}{d x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x^{2} - 1}{x^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}} = 0$

Schritt 12.1.2

Setze den Zähler gleich Null.

$\frac{d g}{d x} x^{2} - x^{2} - 1 = 0$

Schritt 12.1.3

Löse die Gleichung nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.3.1.1

Addiere $x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} x^{2} - 1 = x^{2}$

Schritt 12.1.3.1.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} x^{2} = x^{2} + 1$

Schritt 12.1.3.2

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d g}{d x} x^{2} = x^{2} + 1$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 12.1.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d g}{d x} x^{2} = x^{2} + 1$ durch $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 12.1.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 12.1.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 12.1.3.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d g}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 12.1.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.1.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 12.1.3.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 12.1.3.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d x} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $1 + \frac{1}{x^{2}}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 13.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (x) = \int d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 13.4

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = x + C + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 13.5

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$g (x) = x + C + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 13.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 13.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = x + C + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 13.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$g (x) = x + C + \int x^{- 2} d x$

Schritt 13.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$g (x) = x + C - x^{- 1} + C$

Schritt 13.8

Vereinfache.

$g (x) = x - \frac{1}{x} + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + x - \frac{1}{x} + C$