Analysis Beispiele

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = \ln (x)$

Schritt 1

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $(x + 1) y$ ist.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = y$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

Schritt 1.6

Addiere $1$ und $0$ .

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

Schritt 1.7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Schritt 1.8

Stelle $y$ und $1$ um.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Schritt 2

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = \ln (x)$

Schritt 3

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int \ln (x) d x$

Schritt 4

Integriere die linke Seite.

$(x + 1) y = \int \ln (x) d x$

Schritt 5

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = 1$ .

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Schritt 5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int d x$

Schritt 5.3

Wende die Konstantenregel an.

$(x + 1) y = \ln (x) x - (x + C)$

Schritt 5.4

Vereinfache.

$(x + 1) y = \ln (x) x - x + C$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $(x + 1) y = \ln (x) x - x + C$ durch $x + 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $(x + 1) y = \ln (x) x - x + C$ durch $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (x) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (x) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\ln (x) x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Schritt 6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\ln (x) x - x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Schritt 6.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\ln (x) x - x + C}{x + 1}$

Schritt 6.3.4

Stelle die Faktoren in $\ln (x) x - x + C$ um.

$y = \frac{x \ln (x) - x + C}{x + 1}$