Analysis Beispiele

$(y - x + x y \cot (x)) d x + x d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y - x + x y \cot (x)$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - x + x y \cot (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - x + x y \cot (x)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

Schritt 1.2.3

Da $- x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $x \cot (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y \cot (x)$ nach $y$ gleich $x \cot (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x) \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x)$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + x \cot (x)$

Schritt 1.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cot (x) + 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $x \cot (x) + 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$x \cot (x) + 1 = 1$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$x \cot (x) + 1 = 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $x \cot (x) + 1$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $1$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - 1}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $x$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $x$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - 1}{x}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{x \cot (x) + 0}{x}$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $x \cot (x)$ und $0$ .

$\frac{x \cot (x)}{x}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cot (x)}{x}$

Schritt 4.3.3.2

Dividiere $\cot (x)$ durch $1$ .

$\cot (x)$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \cot (x) d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \cot (x) d x}$ .

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Schritt 5.1

Das Integral von $\cot (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sin (x) |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{\ln (| \sin (x) |)} + C$

Schritt 5.2.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = | \sin (x) | + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(y - x + x y \cot (x)) d x + x d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\sin (x)$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y - x + x y \cot (x)$ mit $\sin (x)$ .

$(y - x + x y \cot (x)) \sin (x) d x + x d y = 0$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(y - x + x y \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

Schritt 6.2.2

Multipliziere $x y \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(y - x + y \frac{x \cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

Schritt 6.2.2.2

Kombiniere $y$ und $\frac{x \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(y - x + \frac{y (x \cos (x))}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

$(y - x + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) d x + x d y = 0$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) d x + x d y = 0$

Schritt 6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)) d x + x d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $x$ mit $\sin (x)$ .

$(y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)) d x + x \sin (x) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \sin (x) d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = x \sin (x)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x \sin (x) y + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x \sin (x) y + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y + g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \sin (x) y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x \sin (x) y]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x \sin (x) y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$y (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Schritt 11.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Schritt 11.3.5

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y (x \cos (x)) + y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Schritt 11.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + x y \cos (x) + y \sin (x) = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $x y \cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + y \sin (x) = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x)$

Schritt 12.1.2

Subtrahiere $y \sin (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

Schritt 12.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$ .

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Schritt 12.1.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $y x \cos (x)$ und $- x y \cos (x)$ neu an.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

Schritt 12.1.3.2

Subtrahiere $x y \cos (x)$ von $x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + 0 - y \sin (x)$

Schritt 12.1.3.3

Addiere $y \sin (x) - x \sin (x)$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) - y \sin (x)$

Schritt 12.1.3.4

Subtrahiere $y \sin (x)$ von $y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x) + 0$

Schritt 12.1.3.5

Addiere $- x \sin (x)$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $- x \sin (x)$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x \sin (x) d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x \sin (x) d x$

Schritt 13.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (x) = - \int x \sin (x) d x$

Schritt 13.4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

Schritt 13.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

Schritt 13.6

Vereinfache.

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Schritt 13.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

Schritt 13.6.2

Mutltipliziere $\int \cos (x) d x$ mit $1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

Schritt 13.7

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$

Schritt 13.8

Schreibe $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$ als $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ um.

$g (x) = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x \sin (x) y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Schritt 15

Vereinfache $f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ .

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Schritt 15.1.2

Multipliziere $- (- x \cos (x))$ .

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Schritt 15.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + 1 (x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Schritt 15.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + x \cos (x) - \sin (x) + C$

Schritt 15.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = x \sin (x) y + x \cos (x) - \sin (x) + C$ um.

$f (x, y) = x y \sin (x) + x \cos (x) - \sin (x) + C$