Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 20 y = 24$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 20$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 20 d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{20 x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{20 x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{20 x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{20 x}$ .

$e^{20 x} \frac{d y}{d x} + e^{20 x} (20 y) = e^{20 x} \cdot 24$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{20 x} \frac{d y}{d x} + 20 e^{20 x} y = e^{20 x} \cdot 24$

Schritt 2.3

Bringe $24$ auf die linke Seite von $e^{20 x}$ .

$e^{20 x} \frac{d y}{d x} + 20 e^{20 x} y = 24 \cdot e^{20 x}$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{20 x} \frac{d y}{d x} + 20 e^{20 x} y = 24 e^{20 x}$ um.

$e^{20 x} \frac{d y}{d x} + 20 y e^{20 x} = 24 e^{20 x}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{20 x} y] = 24 e^{20 x}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{20 x} y] d x = \int 24 e^{20 x} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{20 x} y = \int 24 e^{20 x} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $24$ aus dem Integral.

$e^{20 x} y = 24 \int e^{20 x} d x$

Schritt 6.2

Sei $u = 20 x$ . Dann ist $d u = 20 d x$ , folglich $\frac{1}{20} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.1

Es sei $u = 20 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Differenziere $20 x$ .

$\frac{d}{d x} [20 x]$

Schritt 6.2.1.2

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20 x$ nach $x$ gleich $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$20 \cdot 1$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$20$

Schritt 6.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{20 x} y = 24 \int e^{u} \frac{1}{20} d u$

Schritt 6.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{20}$ .

$e^{20 x} y = 24 \int \frac{e^{u}}{20} d u$

Schritt 6.4

Da $\frac{1}{20}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{20}$ aus dem Integral.

$e^{20 x} y = 24 (\frac{1}{20} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Kombiniere $\frac{1}{20}$ und $24$ .

$e^{20 x} y = \frac{24}{20} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $20$ .

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Schritt 6.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$e^{20 x} y = \frac{4 (6)}{20} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$e^{20 x} y = \frac{4 \cdot 6}{4 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{20 x} y = \frac{4 \cdot 6}{4 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{20 x} y = \frac{6}{5} \int e^{u} d u$

Schritt 6.6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{20 x} y = \frac{6}{5} (e^{u} + C)$

Schritt 6.7

Vereinfache.

$e^{20 x} y = \frac{6}{5} e^{u} + C$

Schritt 6.8

Ersetze alle $u$ durch $20 x$ .

$e^{20 x} y = \frac{6}{5} e^{20 x} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{20 x} y = \frac{6}{5} e^{20 x} + C$ durch $e^{20 x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{20 x} y = \frac{6}{5} e^{20 x} + C$ durch $e^{20 x}$ .

$\frac{e^{20 x} y}{e^{20 x}} = \frac{\frac{6}{5} e^{20 x}}{e^{20 x}} + \frac{C}{e^{20 x}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{20 x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{20 x} y}{e^{20 x}} = \frac{\frac{6}{5} e^{20 x}}{e^{20 x}} + \frac{C}{e^{20 x}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{6}{5} e^{20 x}}{e^{20 x}} + \frac{C}{e^{20 x}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{20 x}$ .

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\frac{6}{5} e^{20 x}}{e^{20 x}} + \frac{C}{e^{20 x}}$

Schritt 7.3.1.2

Dividiere $\frac{6}{5}$ durch $1$ .

$y = \frac{6}{5} + \frac{C}{e^{20 x}}$