Analysis Beispiele

$4 + x^{2} = (1 - y^{5}) \frac{d y}{d x}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Vertausche die Seiten um $\frac{d y}{d x}$ auf die linke Seite zu haben.

$(1 - y^{5}) \frac{d y}{d x} = 4 + x^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$(1 - y^{5}) d y = (4 + x^{2}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 1 - y^{5} d y = \int 4 + x^{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d y + \int - y^{5} d y = \int 4 + x^{2} d x$

Schritt 2.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int - y^{5} d y = \int 4 + x^{2} d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} - \int y^{5} d y = \int 4 + x^{2} d x$

Schritt 2.2.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{5}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$y + C_{1} - (\frac{1}{6} y^{6} + C_{2}) = \int 4 + x^{2} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$y - \frac{1}{6} y^{6} + C_{3} = \int 4 + x^{2} d x$

Schritt 2.2.6

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{6} y^{6} + y + C_{3} = \int 4 + x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \frac{1}{6} y^{6} + y + C_{3} = \int 4 d x + \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{6} y^{6} + y + C_{3} = 4 x + C_{4} + \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{6} y^{6} + y + C_{3} = 4 x + C_{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$- \frac{1}{6} y^{6} + y + C_{3} = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + C_{6}$

Schritt 2.3.5

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{6} y^{6} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{6} y^{6} + y = \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$