Analysis Beispiele

$d x - (y - 2 x y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 1$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - (y - 2 x y)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (y - 2 x y)]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (y - 2 x y)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y - 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [y - 2 x y]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 2 x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y])$

Schritt 2.4

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x y])$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Schritt 2.6

Da $- 2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $x$ gleich $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- 2 y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $0$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$0 = 2 y$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$0 = 2 y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 y$ .

$\frac{0 - (2 y)}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $- (y - 2 x y)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $- (y - 2 x y)$ .

$\frac{0 - (2 y)}{- (y - 2 x y)}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0 - 2 y}{- (y - 2 x y)}$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $2 y$ von $0$ .

$\frac{- 2 y}{- (y - 2 x y)}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y - 2 x y$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{- 2 y}{- (y^{1} - 2 x y)}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{- 2 y}{- (y \cdot 1 - 2 x y)}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $- 2 x y$ heraus.

$\frac{- 2 y}{- (y \cdot 1 + y (- 2 x))}$

Schritt 4.3.3.4

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ heraus.

$\frac{- 2 y}{- (y (1 - 2 x))}$

$\frac{- 2 y}{- y (1 - 2 x)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 y}{- y (1 - 2 x)}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{- 1 (1 - 2 x)}$

Schritt 4.3.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{2}{1 - 2 x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{1 - 2 x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{2}{1 - 2 x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{1 - 2 x} d x}$

Schritt 5.2

Sei $u = 1 - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.2.1

Es sei $u = 1 - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Differenziere $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Schritt 5.2.1.2

Differenziere.

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Schritt 5.2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 5.2.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 5.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 5.2.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$0 - 2$

Schritt 5.2.1.4

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- 2$

Schritt 5.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Schritt 5.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int - \frac{1}{2 u} d u}$

Schritt 5.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{2 (- \int \frac{1}{2 u} d u)}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Schritt 5.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Schritt 5.7

Vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.7.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Schritt 5.9

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Schritt 5.10

Ersetze alle $u$ durch $1 - 2 x$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 1 - 2 x |)} + C$

Schritt 5.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.11.1

Vereinfache $- \ln (| 1 - 2 x |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 1 - 2 x |}^{- 1})} + C$

Schritt 5.11.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| 1 - 2 x |}^{- 1} + C$

Schritt 5.11.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| 1 - 2 x |} + C$

Schritt 6

Mutltipliziere $1$ mit $\frac{1}{1 - 2 x}$ .

$d x - (y - 2 x y) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - y d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = - y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \int y d y$

Schritt 8.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 8.3

Schreibe $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ um.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

Schritt 11.3

Da $- \frac{1}{2} y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Schritt 11.5

Addiere $0$ und $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Schritt 12

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{1}{1 - 2 x}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 12.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Schritt 12.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Schritt 12.3

Sei $u = 1 - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 12.3.1

Es sei $u = 1 - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 12.3.1.1

Differenziere $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Schritt 12.3.1.2

Differenziere.

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Schritt 12.3.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 12.3.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 12.3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 12.3.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 12.3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Schritt 12.3.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$0 - 2$

Schritt 12.3.1.4

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- 2$

Schritt 12.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$g (x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 12.4

Vereinfache.

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Schritt 12.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$g (x) = \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 12.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 12.4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Schritt 12.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $u$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 12.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (x) = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 12.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$g (x) = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 12.7

Entferne die Klammern.

$g (x) = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 12.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 12.9

Vereinfache.

$g (x) = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Schritt 12.10

Ersetze alle $u$ durch $1 - 2 x$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Schritt 13

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Schritt 14

Vereinfache $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$ .

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Schritt 14.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)$ .

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Schritt 14.1.2.1

Stelle $\ln (| 1 - 2 x |)$ und $\frac{1}{2}$ um.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)) + C$

Schritt 14.1.2.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 14.2

Um $- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Schritt 14.3

Kombiniere $- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 14.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 14.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.5.1

Multipliziere $- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

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Schritt 14.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - 2 \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Schritt 14.5.1.2

Vereinfache $- 2 \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

Schritt 14.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 14.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Schritt 14.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Schritt 14.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{1})}{2} + C$

Schritt 14.5.3

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln (| 1 - 2 x |)}{2} + C$