Analysis Beispiele

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \ln (x)$ , $y (1) = 2$

Schritt 1

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $x^{2} y$ ist.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Schritt 1.4

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Schritt 1.5

Entferne die Klammern.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Schritt 1.6

Bewege $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Schritt 2

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \ln (x)$

Schritt 3

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \ln (x) d x$

Schritt 4

Integriere die linke Seite.

$x^{2} y = \int \ln (x) d x$

Schritt 5

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = 1$ .

$x^{2} y = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Schritt 5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int d x$

Schritt 5.3

Wende die Konstantenregel an.

$x^{2} y = \ln (x) x - (x + C)$

Schritt 5.4

Vereinfache.

$x^{2} y = \ln (x) x - x + C$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $\ln (x) x$ heraus.

$y = \frac{x \ln (x)}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.1.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- 1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 7

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $1$ für $x$ und $2$ für $y$ in $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ ersetzt wird.

$2 = \frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$

Schritt 8

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$ um.

$\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Schritt 8.2

Vereinfache $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$ .

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Schritt 8.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (1) - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Schritt 8.2.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0 - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Schritt 8.2.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{- 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Schritt 8.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.4.1

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Schritt 8.2.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 1 + \frac{C}{1} = 2$

Schritt 8.2.4.3

Dividiere $C$ durch $1$ .

$- 1 + C = 2$

Schritt 8.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = 2 + 1$

Schritt 8.3.2

Addiere $2$ und $1$ .

$C = 3$

Schritt 9

Setze $3$ für $C$ in $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 9.1

Ersetze $C$ durch $3$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}$