Analysis Beispiele

$x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} d y = x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ aus ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} ({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} (y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ aus $y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} ({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y) d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

Schritt 3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y) d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

Schritt 3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $y$ .

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ aus ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ aus $x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} ({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x) d x$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} ({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x) d x$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x d x$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Sei $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 y d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Es sei $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Differenziere $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Schritt 4.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 4.2.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 4.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Schritt 4.2.1.1.5

Addiere $0$ und $2 y$ .

$2 y$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.2.4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.4.1

Bringe ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.2.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.2.4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.2.4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ nach $u_{1}$ gleich $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.2.6

Vereinfache.

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Schritt 4.2.6.1

Schreibe $\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ als $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ um.

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.2.6.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.2.6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.2.6.2.3

Mutltipliziere ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

${u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.2.7

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + y^{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Sei $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Es sei $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Differenziere $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 4.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 4.3.1.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 4.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 4.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 4.3.4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.3.4.1

Bringe ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 4.3.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 4.3.4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ nach $u_{2}$ gleich $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 4.3.6

Vereinfache.

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Schritt 4.3.6.1

Schreibe $\frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ um.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 1 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.6.2.3

Mutltipliziere ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + x^{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$