Analysis Beispiele

$x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x \cos^{2} (y)$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cos^{2} (y)]$

Schritt 1.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x \cos^{2} (y)$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = \cos (y)$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Schritt 1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot x \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

Schritt 1.5

Die Ableitung von $\cos (y)$ nach $y$ ist $- \sin (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cos (y) (- \sin (y))$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \cos (y) \sin (y)$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = \tan (y)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\tan (y)]$

Schritt 2.2

Da $\tan (y)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\tan (y)$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $0$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $x \cos^{2} (y)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $x \cos^{2} (y)$ .

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{0 + 2 (x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Schritt 4.3.2.2

Stelle $2$ und $x \cos (y) \sin (y)$ um.

$\frac{0 + x \cos (y) \sin (y) \cdot 2}{x \cos^{2} (y)}$

Schritt 4.3.2.3

Füge Klammern hinzu.

$\frac{0 + x \cos (y) (\sin (y) \cdot 2)}{x \cos^{2} (y)}$

Schritt 4.3.2.4

Füge Klammern hinzu.

$\frac{0 + x (\cos (y) (\sin (y) \cdot 2))}{x \cos^{2} (y)}$

Schritt 4.3.2.5

Stelle $\cos (y)$ und $\sin (y) \cdot 2$ um.

$\frac{0 + x (\sin (y) \cdot 2 \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Schritt 4.3.2.6

Stelle $\sin (y)$ und $2$ um.

$\frac{0 + x (2 \cdot \sin (y) \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Schritt 4.3.2.7

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\frac{0 + x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Schritt 4.3.2.8

Addiere $0$ und $x \sin (2 y)$ .

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (2 y)}{\cos^{2} (y)}$

Schritt 4.3.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\frac{2 \sin (y) \cos (y)}{\cos^{2} (y)}$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos (y)$ und $\cos^{2} (y)$ .

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Schritt 4.3.5.1

Faktorisiere $\cos (y)$ aus $2 \sin (y) \cos (y)$ heraus.

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos^{2} (y)}$

Schritt 4.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.5.2.1

Faktorisiere $\cos (y)$ aus $\cos^{2} (y)$ heraus.

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

Schritt 4.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

Schritt 4.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sin (y)}{\cos (y)}$

Schritt 4.3.6

Separiere Brüche.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

Schritt 4.3.7

Wandle von $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ nach $\tan (y)$ um.

$\frac{2}{1} \tan (y)$

Schritt 4.3.8

Ersetze $M$ durch $x \cos^{2} (y)$ .

$2 \tan (y)$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 \tan (y) d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int 2 \tan (y) d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \tan (y) d y}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\tan (y)$ nach $y$ ist $\ln (| \sec (y) |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $2 \ln (| \sec (y) |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{2})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{2} + C$

Schritt 5.4.3

Entferne den Absolutwert in ${| \sec (y) |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = \sec^{2} (y) + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\sec^{2} (y)$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x \cos^{2} (y)$ mit $\sec^{2} (y)$ .

$x \cos^{2} (y) \sec^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

Schritt 6.2

Schreibe $\sec (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$x \cos^{2} (y) {(\frac{1}{\cos (y)})}^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

Schritt 6.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (y)}$ an.

$x \cos^{2} (y) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (y)$ .

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $\cos^{2} (y)$ aus $x \cos^{2} (y)$ heraus.

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Schritt 6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Schritt 6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x \cdot 1^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

Schritt 6.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x \cdot 1 d x + \tan (y) d y = 0$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x d x + \tan (y) d y = 0$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $\tan (y)$ mit $\sec^{2} (y)$ .

$x d x + \tan (y) \sec^{2} (y) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = x$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Schritt 11.3

Da $\frac{1}{2} x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$0 + \frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Schritt 11.5

Addiere $0$ und $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Schritt 12

Bestimme die Stammfunktion von $\tan (y) \sec^{2} (y)$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 12.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

Schritt 12.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

Schritt 12.3

Sei $u = \sec (y)$ . Dann ist $d u = \sec (y) \tan (y) d y$ , folglich $\frac{1}{\sec (y) \tan (y)} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 12.3.1

Es sei $u = \sec (y)$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 12.3.1.1

Differenziere $\sec (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\sec (y)]$

Schritt 12.3.1.2

Die Ableitung von $\sec (y)$ nach $y$ ist $\sec (y) \tan (y)$ .

$\sec (y) \tan (y)$

Schritt 12.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$g (y) = \int u d u$

Schritt 12.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} u^{2} + C$

Schritt 12.5

Ersetze alle $u$ durch $\sec (y)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Schritt 13

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Schritt 14

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Schritt 14.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sec^{2} (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{\sec^{2} (y)}{2} + C$