Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - 3 \sec^{2} (x - 7)$ , $y (7) = 7$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = - 3 \sec^{2} (x - 7) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - 3 \sec^{2} (x - 7) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - 3 \sec^{2} (x - 7) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - 3 \int \sec^{2} (x - 7) d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = x - 7$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = x - 7$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 2.3.2.1.4

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = - 3 \int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 2.3.3

Da die Ableitung von $\tan (u)$ gleich $\sec^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u)$ gleich $\tan (u)$ .

$y + C_{1} = - 3 (\tan (u) + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$y + C_{1} = - 3 \tan (u) + C_{2}$

Schritt 2.3.5

Ersetze alle $u$ durch $x - 7$ .

$y + C_{1} = - 3 \tan (x - 7) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - 3 \tan (x - 7) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $7$ für $x$ und $7$ für $y$ in $y = - 3 \tan (x - 7) + K$ ersetzt wird.

$7 = - 3 \tan (7 - 7) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 \tan (7 - 7) + K = 7$ um.

$- 3 \tan (7 - 7) + K = 7$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 3 \tan (7 - 7) + K$ .

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Schritt 4.2.1.1

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$- 3 \tan (0) + K = 7$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.2.1

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$- 3 \cdot 0 + K = 7$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$0 + K = 7$

Schritt 4.2.1.3

Addiere $0$ und $K$ .

$K = 7$

Schritt 5

Setze $7$ für $K$ in $y = - 3 \tan (x - 7) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $7$ .

$y = - 3 \tan (x - 7) + 7$