Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y}$ , $y (0) = - 5$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int x d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = x^{2} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + K}$

Schritt 5

Da $y$ negativ in der Anfangsbedingung $(0, - 5)$ ist, betrachte nur $y = - \sqrt{x^{2} + K}$ um $K$ zu finden. Ersetze $0$ für $x$ und $- 5$ für $y$ .

$- 5 = - \sqrt{0^{2} + K}$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $- \sqrt{0^{2} + K} = - 5$ um.

$- \sqrt{0^{2} + K} = - 5$

Schritt 6.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \sqrt{0^{2} + K})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{0^{2} + K}$ als ${(0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache ${(- {(0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(- {(0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Addiere $0$ und $K$ .

${(- K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Schritt 6.3.2.1.3

Wende die Produktregel auf $- K^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Schritt 6.3.2.1.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Schritt 6.3.2.1.5

Mutltipliziere ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Schritt 6.3.2.1.6

Multipliziere die Exponenten in ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5)}^{2}$

Schritt 6.3.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5)}^{2}$

Schritt 6.3.2.1.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$K^{1} = {(- 5)}^{2}$

Schritt 6.3.2.1.7

Vereinfache.

$K = {(- 5)}^{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$K = 25$

Schritt 7

Setze $25$ für $K$ in $y = - \sqrt{x^{2} + K}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $25$ .

$y = - \sqrt{x^{2} + 25}$