Analysis Beispiele

$(1 + \ln (x)) d x + (1 + \ln (y)) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(1 + \ln (x)) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(1 + \ln (y)) d y = - (1 + \ln (x)) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 1 + \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d y + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Schritt 2.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Schritt 2.2.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (y)$ und $d v = 1$ .

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int y \frac{1}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{y}$ .

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Schritt 2.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Schritt 2.2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Schritt 2.2.5

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \ln (y) y - (y + C_{2}) = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Vereinfache.

$y + \ln (y) y - y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Schritt 2.2.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.2.1

Subtrahiere $y$ von $y$ .

$\ln (y) y + 0 + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Schritt 2.2.6.2.2

Addiere $\ln (y) y$ und $0$ .

$\ln (y) y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Schritt 2.2.7

Stelle die Terme um.

$y \ln (y) + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y \ln (y) + C_{3} = - \int 1 + \ln (x) d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y \ln (y) + C_{3} = - (\int d x + \int \ln (x) d x)$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \ln (x) d x)$

Schritt 2.3.4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = 1$ .

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Schritt 2.3.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int d x)$

Schritt 2.3.6

Wende die Konstantenregel an.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - (x + C_{5}))$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

$y \ln (y) + C_{3} = - \ln (x) x + C_{6}$

Schritt 2.3.8

Stelle die Terme um.

$y \ln (y) + C_{3} = - x \ln (x) + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y \ln (y) = - x \ln (x) + K$