Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 \sqrt{y} \ln (x)}{x}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = 4 \sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (4 \sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{y}}$ mit $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}) (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Schritt 1.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{y}}$ mit $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Schritt 1.3.3.2

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Schritt 1.3.3.3

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Schritt 1.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Schritt 1.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Schritt 1.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{y}}^{2}$ als $y$ um.

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Schritt 1.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Schritt 1.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Schritt 1.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Schritt 1.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Schritt 1.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{1}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Schritt 1.3.3.6.5

Vereinfache.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $4$ und $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \sqrt{y}}{y} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Schritt 1.3.5

Kombiniere $\sqrt{y}$ und $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \sqrt{y}}{y} \cdot \frac{\sqrt{y} \ln (x)}{x}$

Schritt 1.3.6

Multipliziere $\frac{4 \sqrt{y}}{y} \cdot \frac{\sqrt{y} \ln (x)}{x}$ .

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Schritt 1.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{y}}{y}$ mit $\frac{\sqrt{y} \ln (x)}{x}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \sqrt{y} (\sqrt{y} \ln (x))}{y x}$

Schritt 1.3.6.2

Stelle $\ln (x)$ und $4$ um.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \cdot \ln (x) \sqrt{y} \sqrt{y}}{y x}$

Schritt 1.3.6.3

Vereinfache $4 \cdot \ln (x)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) \sqrt{y} \sqrt{y}}{y x}$

Schritt 1.3.6.4

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y})}{y x}$

Schritt 1.3.6.5

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1})}{y x}$

Schritt 1.3.6.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) {\sqrt{y}}^{1 + 1}}{y x}$

Schritt 1.3.6.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) {\sqrt{y}}^{2}}{y x}$

Schritt 1.3.7

Schreibe ${\sqrt{y}}^{2}$ als $y$ um.

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Schritt 1.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y x}$

Schritt 1.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y x}$

Schritt 1.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) y^{\frac{2}{2}}}{y x}$

Schritt 1.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) y^{\frac{2}{2}}}{y x}$

Schritt 1.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) y^{1}}{y x}$

Schritt 1.3.7.5

Vereinfache.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) y}{y x}$

Schritt 1.3.8

Zerlege $\ln (x^{4})$ durch Herausziehen von $4$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \ln (x) y}{y x}$

Schritt 1.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \ln (x) y}{y x}$

Schritt 1.3.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \ln (x)}{x}$

Schritt 1.3.10

Vereinfache $4 \ln (x)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4})}{x}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

Schritt 2.2.1.2

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

Schritt 2.2.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

Schritt 2.2.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- \frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $\frac{\ln (x^{4})}{x}$ als $\frac{4 \ln (x)}{x}$ um.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{4 \ln (x)}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.3.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.3.3.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 \int u d u$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Schreibe $4 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ als $4 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{2}$ um.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{4}{2} u^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} u^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} u^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} u^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2}{1} u^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 u^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \ln^{2} (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln^{2} (x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln^{2} (x) + K$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln^{2} (x) + K$ durch $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln^{2} (x)}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln^{2} (x)}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $y^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln^{2} (x)}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln^{2} (x)}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3.1.2

Dividiere $\ln^{2} (x)$ durch $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \ln^{2} (x) + \frac{K}{2}$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln^{2} (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln^{2} (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln^{2} (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(\ln^{2} (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache.

$y = {(\ln^{2} (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = {(\ln^{2} (x) + K)}^{2}$