Analysis Beispiele

$y^{2} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x y + y^{2} - 1$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y + y^{2} - 1]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y + y^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.4.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0 + 0$

Schritt 2.5

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.1

Addiere $y$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $y$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 y = y$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 y = y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $y$ .

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 y$ .

$\frac{y - (2 y)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $y^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $y^{2}$ .

$\frac{y - (2 y)}{y^{2}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y - 1 \cdot 2 y$ heraus.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{1} - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

Schritt 4.3.2.1.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{y \cdot 1 - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere $y$ aus $- 1 \cdot 2 y$ heraus.

$\frac{y \cdot 1 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Schritt 4.3.2.1.4

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{y (1 - 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{y (1 - 2)}{y^{2}}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{y \cdot - 1}{y^{2}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 1$ heraus.

$\frac{y (- 1)}{y^{2}}$

Schritt 4.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{y (- 1)}{y \cdot y}$

Schritt 4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \cdot - 1}{y \cdot y}$

Schritt 4.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{y}$

Schritt 4.3.4

Ersetze $M$ durch $y^{2}$ .

$- \frac{1}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $- \ln (| y |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Schritt 5.4.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $y^{2} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$y^{2} \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y \cdot y \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \cdot y \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $x y + y^{2} - 1$ mit $\frac{1}{y}$ .

$y d x + (x y + y^{2} - 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $x y + y^{2} - 1$ mit $\frac{1}{y}$ .

$y d x + \frac{x y + y^{2} - 1}{y} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = y x + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y x + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Schritt 11.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y} - x$

Schritt 12.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{x y + y^{2} - 1}{y}$ in zwei Brüche.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2}}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Schritt 12.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y + y^{2}$ heraus.

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Schritt 12.1.2.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y x + y^{2}}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Schritt 12.1.2.2.1.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y x + y \cdot y}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Schritt 12.1.2.2.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y x + y \cdot y$ heraus.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x + y)}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Schritt 12.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 12.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x + y)}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Schritt 12.1.2.2.2.2

Dividiere $x + y$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} = x + y + \frac{- 1}{y} - x$

Schritt 12.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d g}{d y} = x + y - \frac{1}{y} - x$

Schritt 12.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + y - \frac{1}{y} - x$ .

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Schritt 12.1.3.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y} + 0$

Schritt 12.1.3.2

Addiere $y - \frac{1}{y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $y - \frac{1}{y}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y - \frac{1}{y} d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y - \frac{1}{y} d y$

Schritt 13.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (y) = \int y d y + \int - \frac{1}{y} d y$

Schritt 13.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - \frac{1}{y} d y$

Schritt 13.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 13.6

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - (\ln (| y |) + C)$

Schritt 13.7

Vereinfache.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y x + \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C$

Schritt 15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = y x + \frac{y^{2}}{2} - \ln (| y |) + C$