Analysis Beispiele

$y d x + (2 x + 1 - x y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 x + 1 - x y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x + 1 - x y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1 - x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 - y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 - y \cdot 1$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 - y$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 - y$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 2$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- y + 2$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$1 = - y + 2$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$1 = - y + 2$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- y + 2$ .

$\frac{- y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $1$ .

$\frac{- y + 2 - 1}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $y$ .

$\frac{- y + 2 - 1}{y}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{- y + 1}{y}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{- (y) + 1}{y}$

Schritt 4.3.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- (y) - 1 (- 1)}{y}$

Schritt 4.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{- (y - 1)}{y}$

Schritt 4.3.6

Schreibe $- (y - 1)$ als $- 1 (y - 1)$ um.

$\frac{- 1 (y - 1)}{y}$

Schritt 4.3.7

Ersetze $M$ durch $y$ .

$- \frac{y - 1}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{y - 1}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{y - 1}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{y - 1}{y} d y}$

Schritt 5.2

Dividiere $y - 1$ durch $y$ .

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Schritt 5.2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y$

$0$

$y$

$1$

Schritt 5.2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$1$

Schritt 5.2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$1$
			+	$y$	+	$0$

Schritt 5.2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y + 0$

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$0$

Schritt 5.2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$0$
					-	$1$

Schritt 5.2.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$μ (x, y) = e^{- \int 1 - \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$μ (x, y) = e^{- (\int d y + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 5.4

Wende die Konstantenregel an.

$μ (x, y) = e^{- (y + C + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 5.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (y + C - \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 5.6

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (y + C - (\ln (| y |) + C))}$

Schritt 5.7

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- y + \ln (| y |)} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $y d x + (2 x + 1 - x y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $e^{- y + \ln (y)}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y$ mit $e^{- y + \ln (y)}$ .

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x + 1 - x y) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2 x + 1 - x y$ mit $e^{- y + \ln (y)}$ .

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x + 1 - x y) e^{- y + \ln (y)} d y = 0$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x e^{- y + \ln (y)} + 1 e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}) d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $e^{- y + \ln (y)}$ mit $1$ .

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{- y + \ln (y)} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = y e^{- y + \ln (y)}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y e^{- y + \ln (y)} x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = e^{- y + \ln (y)}$ .

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- y + \ln (y)}] + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = - y + \ln (y)$ .

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Schritt 11.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- y + \ln (y)$ .

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y + \ln (y)]) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- y + \ln (y)]) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- y + \ln (y)$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [- y + \ln (y)]) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- y + \ln (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.3.7

Die Ableitung von $\ln (y)$ nach $y$ ist $\frac{1}{y}$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.3.10

Mutltipliziere $e^{- y + \ln (y)}$ mit $1$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)}) + \frac{d g}{d y} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y}))) + x e^{- y + \ln (y)} + \frac{d g}{d y} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + e^{- y + \ln (y)} x y (- 1 + \frac{1}{y}) + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + e^{- y + \ln (y)} x y \cdot - 1 + e^{- y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.5.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + e^{- y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 11.5.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $e^{- y + \ln (y)} x y$ heraus.

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + y (e^{- y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + y (e^{- y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.5.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + e^{- y + \ln (y)} x + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.5.3.4

Schreibe $- 1 (e^{- y + \ln (y)} x y)$ als $- (e^{- y + \ln (y)} x y)$ um.

$\frac{d g}{d y} - e^{- y + \ln (y)} x y + e^{- y + \ln (y)} x + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.5.4

Addiere $e^{- y + \ln (y)} x$ und $e^{- y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - e^{- y + \ln (y)} x y + 2 e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 11.5.5

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d y} - e^{- y + \ln (y)} x y + 2 e^{- y + \ln (y)} x$ um.

$\frac{d g}{d y} - x y e^{- y + \ln (y)} + 2 x e^{- y + \ln (y)} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- x y e^{- y + \ln (y)} + 2 x e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- y + \ln (y)} - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Schritt 12.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- x y e^{- y + \ln (y)} + 2 x e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- y + \ln (y)} - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)}$ .

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Schritt 12.1.2.1

Subtrahiere $2 x e^{- y + \ln (y)}$ von $2 x e^{- y + \ln (y)}$ .

$- x y e^{- y + \ln (y)} + 0 - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Schritt 12.1.2.2

Addiere $- x y e^{- y + \ln (y)}$ und $0$ .

$- x y e^{- y + \ln (y)} - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Schritt 12.1.2.3

Addiere $- x y e^{- y + \ln (y)}$ und $x y e^{- y + \ln (y)}$ .

$0 - e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Schritt 12.1.2.4

Subtrahiere $e^{- y + \ln (y)}$ von $0$ .

$- e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Schritt 12.1.3

Da $\frac{d g}{d y}$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 12.1.4

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 12.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{- e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Schritt 12.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.1.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{- e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Schritt 12.1.4.2.2

Dividiere $\frac{d g}{d y}$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{- e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Schritt 12.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.1.4.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{d g}{d y} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{1}$

Schritt 12.1.4.3.2

Dividiere $e^{- y + \ln (y)}$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $e^{- y + \ln (y)}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int e^{- y + \ln (y)} d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int e^{- y + \ln (y)} d y$

Schritt 13.3

Schreibe $\int e^{- y + \ln (y)} d y$ als $\int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$ um.

$g (y) = \int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$

Schritt 13.4

Schreibe $e^{\ln (y)}$ als $y$ um.

$g (y) = \int e^{- y} y d y$

Schritt 13.5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y$ und $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y$

Schritt 13.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y$

Schritt 13.7

Vereinfache.

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Schritt 13.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g (y) = y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y$

Schritt 13.7.2

Mutltipliziere $\int e^{- y} d y$ mit $1$ .

$g (y) = y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y$

Schritt 13.8

Sei $u = - y$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 13.8.1

Es sei $u = - y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 13.8.1.1

Differenziere $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 13.8.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 13.8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 13.8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 13.8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$g (y) = y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u$

Schritt 13.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u$

Schritt 13.10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$g (y) = y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$

Schritt 13.11

Schreibe $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$ als $- y e^{- y} - e^{u} + C$ um.

$g (y) = - y e^{- y} - e^{u} + C$

Schritt 13.12

Ersetze alle $u$ durch $- y$ .

$g (y) = - y e^{- y} - e^{- y} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x - y e^{- y} - e^{- y} + C$

Schritt 15

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x - y e^{- y} - e^{- y} + C$ um.

$f (x, y) = y x e^{- y + \ln (y)} - y e^{- y} - e^{- y} + C$