Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sec^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)} \cdot \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec^{2} (y)$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)} \cdot \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (y)} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ als ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ um.

$\int {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.3

Schreibe $\sec (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (y)}$ zu dividieren.

$\int {(1 \cos (y))}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.5

Mutltipliziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$\int \cos^{2} (y) d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (y)$ als $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (2 y) d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.6

Sei $u = 2 y$ . Dann ist $d u = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.6.1

Es sei $u = 2 y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.6.1.1

Differenziere $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 2.2.6.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.2.6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.2.6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.9

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.10

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.11

Ersetze alle $u$ durch $2 y$ .

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.12

Vereinfache.

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Schritt 2.2.12.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 y)$ .

$\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.12.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y$ .

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.12.4

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

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Schritt 2.2.12.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sin (2 y)}{2}$ .

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.12.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.13

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \arctan (x) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) = \arctan (x) + K$