Analysis Beispiele

$y d x - x d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $y d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x d y = - y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (- x) d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{- 1}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Schritt 3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x y} y d x$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x y}$ in den Zähler.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x y} y d x$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Schritt 3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Schritt 3.5.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2

Subtrahiere $\ln (| x |)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (| y |) = C - \ln (| x |)$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| y |) = C - \ln (| x |)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| y |) = C - \ln (| x |)$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2

Dividiere $\ln (| y |)$ durch $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 5.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (| y |) = - C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 5.3.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\ln (| y |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{1}$

Schritt 5.3.3.1.4

Dividiere $\ln (| x |)$ durch $1$ .

$\ln (| y |) = - C + \ln (| x |)$

Schritt 5.4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = - C$

Schritt 5.5

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - C$

Schritt 5.6

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{- C}$

Schritt 5.7

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y |}{| x |}$

Schritt 5.8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.8.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{| x |} = e^{- C}$ um.

$\frac{| y |}{| x |} = e^{- C}$

Schritt 5.8.2

Multipliziere beide Seiten mit $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

Schritt 5.8.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| x |$ .

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Schritt 5.8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

Schritt 5.8.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{- C} | x |$

Schritt 5.8.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.8.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{- C} | x |$ um.

$| y | = | x | e^{- C}$

Schritt 5.8.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{- C}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm | x | C$

Schritt 6.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C | x |$