Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = e^{- x^{2}}$ , $y (3) = 5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = e^{- x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int e^{- x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int e^{- x^{2}} d x$

Schritt 2.3

$\int e^{- x^{2}} d x$ ist ein spezielles Integral. Das Integral ist die Fehlerfunktion.

$y + C_{1} = erf (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = erf (x) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $3$ für $x$ und $5$ für $y$ in $y = erf (x) + K$ ersetzt wird.

$5 = erf (x) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $e r f (x) + K = 5$ um.

$e r f (x) + K = 5$

Schritt 4.2

Multipliziere $e r f$ mit $x$ .

$e r f x + K = 5$

Schritt 4.3

Subtrahiere $e r f x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 5 - e r f x$

Schritt 5

Setze $5 - e r f x$ für $K$ in $y = erf (x) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $5 - e r f x$ .

$y = erf (x) + 5 - e r f x$