Analysis Beispiele

$2 y \frac{d y}{d x} = - 4 x$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$2 y d y = - 4 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 2 y d y = \int - 4 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int y d y = \int - 4 x d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - 4 x d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ als $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ um.

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Schritt 2.2.3.2.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$y^{2} + C_{1} = - 4 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $- 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $- 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

$y^{2} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{- 4}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{1} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$y^{2} + C_{1} = - 2 x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y^{2} = - 2 x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

Schritt 3.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

Schritt 3.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

Schritt 3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$