Analysis Beispiele

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = {(x + 1)}^{2}$ durch $x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 1$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $y$ aus $\frac{2 y}{x^{2} - 1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.4

Stelle $y$ und $\frac{2}{x^{2} - 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x^{2} - 1} y = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{2}{x^{2} - 1}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2}{x^{2} - 1} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{2}{x^{2} - 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x}$

Schritt 2.2.2

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 2.2.2.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 2.2.2.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2.2.2.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Schritt 2.2.2.1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Schritt 2.2.2.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 2.2.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 2.2.2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 2.2.2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 2.2.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 2.2.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 2.2.2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 2.2.2.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 2.2.2.1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 2.2.2.1.7.1.2

Dividiere $(A) (x - 1)$ durch $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 2.2.2.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 2.2.2.1.7.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 2.2.2.1.7.4

Schreibe $- 1 A$ als $- A$ um.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 2.2.2.1.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 2.2.2.1.7.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 2.2.2.1.7.5.2

Dividiere $(B) (x + 1)$ durch $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Schritt 2.2.2.1.7.6

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Schritt 2.2.2.1.7.7

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Schritt 2.2.2.1.8

Bewege $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.2.2.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 2.2.2.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = - 1 A + B$

Schritt 2.2.2.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Schritt 2.2.2.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 2.2.2.3.1

Löse in $0 = A + B$ nach $A$ auf.

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Schritt 2.2.2.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + B = 0$ um.

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Schritt 2.2.2.3.1.2

Subtrahiere $B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Schritt 2.2.2.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.2.2.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $1 = - 1 A + B$ durch $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Schritt 2.2.2.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.3.2.2.1

Vereinfache $- 1 (- B) + B$ .

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Schritt 2.2.2.3.2.2.1.1

Multipliziere $- 1 (- B)$ .

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Schritt 2.2.2.3.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Schritt 2.2.2.3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Schritt 2.2.2.3.2.2.1.2

Addiere $B$ und $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Schritt 2.2.2.3.3

Löse in $1 = 2 B$ nach $B$ auf.

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Schritt 2.2.2.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $2 B = 1$ um.

$2 B = 1$

$A = - B$

Schritt 2.2.2.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.2.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Schritt 2.2.2.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Schritt 2.2.2.3.3.2.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Schritt 2.2.2.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $\frac{1}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.2.2.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $A = - B$ durch $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.2.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.3.4.2.1

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.2.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.2.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Schritt 2.2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Schritt 2.2.2.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Schritt 2.2.2.5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Schritt 2.2.2.5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Schritt 2.2.2.5.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x - 1}$ .

$e^{2 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x}$

Schritt 2.2.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{2 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{2 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Schritt 2.2.5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Schritt 2.2.6

Sei $u_{1} = x + 1$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.6.1

Es sei $u_{1} = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.2.6.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.2.6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.6.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.6.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$e^{2 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Schritt 2.2.7

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Schritt 2.2.8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)}$

Schritt 2.2.9

Sei $u_{2} = x - 1$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.2.9.1

Es sei $u_{2} = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.2.9.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 2.2.9.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.9.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.9.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})}$

Schritt 2.2.10

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))}$

Schritt 2.2.11

Vereinfache.

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

Schritt 2.2.12

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 2.2.12.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + 1$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

Schritt 2.2.12.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 1$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

Schritt 2.2.13

Vereinfache.

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Schritt 2.2.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.13.1.1

Kombiniere $\ln (| x + 1 |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

Schritt 2.2.13.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| x - 1 |)$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2}) + C}$

Schritt 2.2.13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Schritt 2.2.13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.13.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Schritt 2.2.13.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (x + 1) + \ln (x - 1)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1}) + \ln (x - 1)}$

Schritt 2.5

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1} (x - 1))}$

Schritt 2.6

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

${(x + 1)}^{- 1} (x - 1)$

Schritt 2.7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + 1} (x - 1)$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $x - 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d y}{d x} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{x - 1}{x + 1}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1^{2}} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.2.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{(x + 1) (x - 1)} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ und $y$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.2.4.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x + 1) (x - 1)$ heraus.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $\frac{2 y}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{(x + 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.2.6

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.2.7

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 1}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.2.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.3

Um $\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${(x + 1)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.4.2

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x \frac{d y}{d x} - 1 \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.6.2

Schreibe $- 1 \frac{d y}{d x}$ als $- \frac{d y}{d x}$ um.

$\frac{(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.6.3

Multipliziere $(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x + 1) - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.6.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.6.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x \cdot x \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.6.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.6.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.6.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.6.4.2

Subtrahiere $\frac{d y}{d x} x$ von $x \frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 3.6.4.2.1

Bewege $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - 1 x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.6.4.2.2

Subtrahiere $x \frac{d y}{d x}$ von $x \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + 0 - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.6.4.3

Addiere $x^{2} \frac{d y}{d x}$ und $0$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 3.7.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x + 1)}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x + 1)}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.8.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 3.8.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.9.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x + 1) (x - 1)$ heraus.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Schritt 3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Schritt 3.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x + 1}{x + 1}$

Schritt 3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 3.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x + 1}{x + 1}$

Schritt 3.10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = 1$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1} y] = 1$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1} y] d x = \int d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{x - 1}{x + 1} y = \int d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{x - 1}{x + 1} y = x + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache $\frac{x - 1}{x + 1} y$ .

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $\frac{x - 1}{x + 1}$ und $y$ .

$\frac{(x - 1) y}{x + 1} = x + C$

Schritt 8.1.2

Stelle die Faktoren in $\frac{(x - 1) y}{x + 1}$ um.

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} = x + C$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten mit $x + 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1) = (x + C) (x + 1)$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.1

Vereinfache $\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1)$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 8.3.1.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1) = (x + C) (x + 1)$

Schritt 8.3.1.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y (x - 1) = (x + C) (x + 1)$

Schritt 8.3.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y x + y \cdot - 1 = (x + C) (x + 1)$

Schritt 8.3.1.1.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$y x - 1 \cdot y = (x + C) (x + 1)$

Schritt 8.3.1.1.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$y x - y = (x + C) (x + 1)$

Schritt 8.3.1.1.3

Stelle $y$ und $x$ um.

$x y - y = (x + C) (x + 1)$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Vereinfache $(x + C) (x + 1)$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Multipliziere $(x + C) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x y - y = x (x + 1) + C (x + 1)$

Schritt 8.3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x y - y = x \cdot x + x \cdot 1 + C (x + 1)$

Schritt 8.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x y - y = x \cdot x + x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Schritt 8.3.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x y - y = x^{2} + x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Schritt 8.3.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x y - y = x^{2} + x + C x + C \cdot 1$

Schritt 8.3.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$x y - y = x^{2} + x + C x + C$

Schritt 8.3.2.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.2.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$x y - y = x^{2} + C x + C + x$

Schritt 8.3.2.1.2.2.2

Stelle $x^{2}$ und $C x$ um.

$x y - y = C x + x^{2} + C + x$

Schritt 8.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $y$ aus $x y - y$ heraus.

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Schritt 8.4.1.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$y x - y = C x + x^{2} + C + x$

Schritt 8.4.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y x + y \cdot - 1 = C x + x^{2} + C + x$

Schritt 8.4.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y x + y \cdot - 1$ heraus.

$y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$

Schritt 8.4.2

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$ durch $x - 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$ durch $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Schritt 8.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 8.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Schritt 8.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Schritt 8.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.2.3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.4.2.3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{C x + x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Schritt 8.4.2.3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $C x + x^{2}$ heraus.

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Schritt 8.4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $C x$ heraus.

$y = \frac{x C + x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Schritt 8.4.2.3.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y = \frac{x C + x \cdot x}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Schritt 8.4.2.3.1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x C + x \cdot x$ heraus.

$y = \frac{x (C + x)}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Schritt 8.4.2.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x (C + x) + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Schritt 8.4.2.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x C + x \cdot x + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Schritt 8.4.2.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{x C + x^{2} + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Schritt 8.4.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x C + x^{2} + C + x}{x - 1}$

Schritt 8.4.2.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.2.3.4.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.4.2.3.4.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{x C + x^{2} + C + x}{x - 1}$

Schritt 8.4.2.3.4.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{x (C + x) + 1 (C + x)}{x - 1}$

Schritt 8.4.2.3.4.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $C + x$ .

$y = \frac{(C + x) (x + 1)}{x - 1}$