Analysis Beispiele

$x (y d) x + (2 x^{2} + 3 y^{2} - 20) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 1.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 x^{2} + 3 y^{2} - 20$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 y^{2} - 20]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 3 y^{2} - 20$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 20]$

Schritt 2.4.2

Da $- 20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 20$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 0 + 0$

Schritt 2.5

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.1

Addiere $4 x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $4 x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$x = 4 x$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$x = 4 x$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $4 x$ .

$\frac{4 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $x$ .

$\frac{4 x - x}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $x y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $x y$ .

$\frac{4 x - x}{x y}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $x$ von $4 x$ .

$\frac{3 x}{x y}$

Schritt 4.3.3

Ersetze $M$ durch $x y$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{x y}$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{3}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{3}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{3 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $3 \ln (| y |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{3})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{3} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $x y d x + (2 x^{2} + 3 y^{2} - 20) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $y^{3}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x y$ mit $y^{3}$ .

$x y \cdot y^{3} d x + (2 x^{2} + 3 y^{2} - 20) d y = 0$

Schritt 6.2

Multipliziere $y$ mit $y^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Bewege $y^{3}$ .

$x (y^{3} y) d x + (2 x^{2} + 3 y^{2} - 20) d y = 0$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $y$ .

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$x (y^{3} y^{1}) d x + (2 x^{2} + 3 y^{2} - 20) d y = 0$

Schritt 6.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x y^{3 + 1} d x + (2 x^{2} + 3 y^{2} - 20) d y = 0$

Schritt 6.2.3

Addiere $3$ und $1$ .

$x y^{4} d x + (2 x^{2} + 3 y^{2} - 20) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2 x^{2} + 3 y^{2} - 20$ mit $y^{3}$ .

$x y^{4} d x + (2 x^{2} + 3 y^{2} - 20) y^{3} d y = 0$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + 3 y^{2} y^{3} - 20 y^{3}) d y = 0$

Schritt 6.5

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.5.1

Bewege $y^{3}$ .

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + 3 (y^{3} y^{2}) - 20 y^{3}) d y = 0$

Schritt 6.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + 3 y^{3 + 2} - 20 y^{3}) d y = 0$

Schritt 6.5.3

Addiere $3$ und $2$ .

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + 3 y^{5} - 20 y^{3}) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x y^{4} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = x y^{4}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $y^{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y^{4}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = y^{4} \int x d x$

Schritt 8.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 8.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.3.1

Schreibe $y^{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $y^{4} \frac{1}{2} x^{2} + C$ um.

$f (x, y) = y^{4} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.3.2

Vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Kombiniere $y^{4}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4}}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.3.2.2

Kombiniere $\frac{y^{4}}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2}}{2} + C$

Schritt 8.3.3

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} y^{3} + 3 y^{5} - 20 y^{3}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 3 y^{5} - 20 y^{3}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 3 y^{5} - 20 y^{3}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2}]$ .

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Schritt 11.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 3 y^{5} - 20 y^{3}$

Schritt 11.3.2

Kombiniere $\frac{y^{4}}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 3 y^{5} - 20 y^{3}$

Schritt 11.3.3

Da $\frac{x^{2}}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{4} x^{2}}{2}$ nach $y$ gleich $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 3 y^{5} - 20 y^{3}$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{x^{2}}{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 3 y^{5} - 20 y^{3}$

Schritt 11.3.5

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{4 x^{2}}{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 3 y^{5} - 20 y^{3}$

Schritt 11.3.6

Kombiniere $\frac{4 x^{2}}{2}$ und $y^{3}$ .

$\frac{4 x^{2} y^{3}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 3 y^{5} - 20 y^{3}$

Schritt 11.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 11.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2} y^{3}$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2} y^{3})}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 3 y^{5} - 20 y^{3}$

Schritt 11.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2} y^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 3 y^{5} - 20 y^{3}$

Schritt 11.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x^{2} y^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 3 y^{5} - 20 y^{3}$

Schritt 11.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{2} y^{3}}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 3 y^{5} - 20 y^{3}$

Schritt 11.3.7.2.4

Dividiere $2 x^{2} y^{3}$ durch $1$ .

$2 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 3 y^{5} - 20 y^{3}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$2 x^{2} y^{3} + \frac{d g}{d y} = 2 x^{2} y^{3} + 3 y^{5} - 20 y^{3}$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 2 y^{3} x^{2} = 2 x^{2} y^{3} + 3 y^{5} - 20 y^{3}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $2 y^{3} x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{2} y^{3} + 3 y^{5} - 20 y^{3} - 2 y^{3} x^{2}$

Schritt 12.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} y^{3} + 3 y^{5} - 20 y^{3} - 2 y^{3} x^{2}$ .

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Schritt 12.1.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $2 x^{2} y^{3}$ und $- 2 y^{3} x^{2}$ neu an.

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3} x^{2} + 3 y^{5} - 20 y^{3} - 2 y^{3} x^{2}$

Schritt 12.1.2.2

Subtrahiere $2 y^{3} x^{2}$ von $2 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{5} - 20 y^{3} + 0$

Schritt 12.1.2.3

Addiere $3 y^{5} - 20 y^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{5} - 20 y^{3}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $3 y^{5} - 20 y^{3}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 3 y^{5} - 20 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{5} - 20 y^{3} d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 y^{5} - 20 y^{3} d y$

Schritt 13.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (y) = \int 3 y^{5} d y + \int - 20 y^{3} d y$

Schritt 13.4

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$g (y) = 3 \int y^{5} d y + \int - 20 y^{3} d y$

Schritt 13.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{5}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{6} y^{6} + C) + \int - 20 y^{3} d y$

Schritt 13.6

Da $- 20$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 20$ aus dem Integral.

$g (y) = 3 (\frac{1}{6} y^{6} + C) - 20 \int y^{3} d y$

Schritt 13.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{6} y^{6} + C) - 20 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Schritt 13.8

Vereinfache.

$g (y) = 3 (\frac{1}{6}) y^{6} - 20 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Schritt 13.9

Vereinfache.

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Schritt 13.9.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{6}$ .

$g (y) = \frac{3}{6} y^{6} - 20 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Schritt 13.9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 13.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$g (y) = \frac{3 (1)}{6} y^{6} - 20 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Schritt 13.9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.9.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$g (y) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} y^{6} - 20 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Schritt 13.9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} y^{6} - 20 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Schritt 13.9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{6} - 20 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Schritt 13.9.3

Kombiniere $- 20$ und $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{6} + \frac{- 20}{4} y^{4} + C$

Schritt 13.9.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $4$ .

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Schritt 13.9.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 20$ heraus.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{6} + \frac{4 \cdot - 5}{4} y^{4} + C$

Schritt 13.9.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.9.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{6} + \frac{4 \cdot - 5}{4 (1)} y^{4} + C$

Schritt 13.9.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{6} + \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 1} y^{4} + C$

Schritt 13.9.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{6} + \frac{- 5}{1} y^{4} + C$

Schritt 13.9.4.2.4

Dividiere $- 5$ durch $1$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{6} - 5 y^{4} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + \frac{1}{2} y^{6} - 5 y^{4} + C$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4}}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{6} - 5 y^{4} + C$

Schritt 15.2

Kombiniere $\frac{y^{4}}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{6} - 5 y^{4} + C$

Schritt 15.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2}}{2} + \frac{y^{6}}{2} - 5 y^{4} + C$