Analysis Beispiele

$(x - 2 y) d x - (2 x + y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x - 2 y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Schritt 1.2.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ nach $y$ gleich $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2$

Schritt 1.4

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - (2 x + y)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x + y)]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (2 x + y)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [2 x + y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.7

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + 0)$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 2$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 2$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 2$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 2 = - 2$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- 2 = - 2$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (2 x + y) d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = - (2 x + y)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \int 2 x + y d y$

Schritt 5.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = - (\int 2 x d y + \int y d y)$

Schritt 5.3

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = - (2 x y + C + \int y d y)$

Schritt 5.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 x y + C + \frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 5.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 x y + C + \frac{y^{2}}{2} + C)$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x - 2 y$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)] = x - 2 y$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2}) + g (x)] = x - 2 y$

Schritt 8.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- (2 x y + \frac{y^{2}}{2}) + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [2 x y + \frac{y^{2}}{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [2 x y + \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Schritt 8.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y + \frac{y^{2}}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]$ .

$- (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Schritt 8.3.3

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Schritt 8.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Schritt 8.3.5

Da $\frac{y^{2}}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{2}}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- (2 y \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Schritt 8.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- (2 y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Schritt 8.3.7

Addiere $2 y$ und $0$ .

$- (2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Schritt 8.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$- 2 y + \frac{d g}{d x} = x - 2 y$

Schritt 8.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = x - 2 y$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = x - 2 y + 2 y$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 y + 2 y$ .

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Schritt 9.1.2.1

Addiere $- 2 y$ und $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $x$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Schritt 10.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{y^{2}}{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = - (2 x y) - \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 (x y) - \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 12.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x y - \frac{y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$