Analysis Beispiele

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x} y = 1$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x} y = 1$ durch $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $2 y$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{1}{e^{x}}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 2$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 2 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{2 x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} \frac{1}{e^{x}}$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \frac{1}{e^{x}}$

Schritt 3.3

Kombiniere $e^{2 x}$ und $\frac{1}{e^{x}}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{2 x}}{e^{x}}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{2 x}$ und $e^{x}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{2 x}$ heraus.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x}}$

Schritt 3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x}}{1}$

Schritt 3.4.2.4

Dividiere $e^{x}$ durch $1$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x}$

Schritt 3.5

Stelle die Faktoren in $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x}$ um.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = e^{x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = e^{x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int e^{x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{2 x} y = \int e^{x} d x$

Schritt 7

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$e^{2 x} y = e^{x} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} y = e^{x} + C$ durch $e^{2 x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} y = e^{x} + C$ durch $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x}$ und $e^{2 x}$ .

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Schritt 8.3.1.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{x}$ heraus.

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.1.2.4

Dividiere $e^{- x}$ durch $1$ .

$y = e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$