Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x + 6$

Schritt 1

Nimm an, alle Lösungen haben die Form $y = e^{r x}$ .

Schritt 2

Ermittle die charakteristische Gleichung für $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x + 6$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Schritt 2.3

Setze in die Differentialgleichung ein.

$r^{2} e^{r x} + 4 (r e^{r x}) + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Schritt 2.4

Entferne die Klammern.

$r^{2} e^{r x} + 4 r e^{r x} + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Schritt 2.5

Faktorisiere $e^{r x}$ aus.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $r^{2} e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} r^{2} + 4 r e^{r x} + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $4 r e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (4 r) + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (4 r)$ heraus.

$e^{r x} (r^{2} + 4 r) + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Schritt 2.5.4

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $4 e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} (r^{2} + 4 r) + e^{r x} \cdot 4 = 2 x + 6$

Schritt 2.5.5

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $e^{r x} (r^{2} + 4 r) + e^{r x} \cdot 4$ heraus.

$e^{r x} (r^{2} + 4 r + 4) = 2 x + 6$

Schritt 2.6

Da Exponentialfunktionen nie null sein können, teile beide Seiten durch $e^{r x}$ .

$r^{2} + 4 r + 4 = 2 x + 6$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} + 4 r + 4 - 2 x = 6$

Schritt 3.1.1.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} + 4 r + 4 - 2 x - 6 = 0$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $6$ von $4$ .

$r^{2} + 4 r - 2 x - 2 = 0$

Schritt 3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 4$ und $c = - 2 x - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $r$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.6

Addiere $16$ und $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.7

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 24$ heraus.

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Schritt 3.4.1.7.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) + 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.7.2

Faktorisiere $8$ aus $24$ heraus.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.7.3

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 8 \cdot 3$ heraus.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.8

Schreibe $8 (x + 3)$ als $2^{2} \cdot (2 (x + 3))$ um.

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Schritt 3.4.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$ .

$r = - 2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.6

Addiere $16$ und $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.7

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 24$ heraus.

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Schritt 3.5.1.7.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) + 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.7.2

Faktorisiere $8$ aus $24$ heraus.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.7.3

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 8 \cdot 3$ heraus.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.8

Schreibe $8 (x + 3)$ als $2^{2} \cdot (2 (x + 3))$ um.

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Schritt 3.5.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$ .

$r = - 2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}$

Schritt 3.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$r = - 2 + \sqrt{2 (x + 3)}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.6

Addiere $16$ und $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.7

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 24$ heraus.

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Schritt 3.6.1.7.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) + 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.7.2

Faktorisiere $8$ aus $24$ heraus.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.7.3

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 8 \cdot 3$ heraus.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.8

Schreibe $8 (x + 3)$ als $2^{2} \cdot (2 (x + 3))$ um.

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Schritt 3.6.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$ .

$r = - 2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}$

Schritt 3.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$r = - 2 - \sqrt{2 (x + 3)}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$r = - 2 + \sqrt{2 (x + 3)}$

$r = - 2 - \sqrt{2 (x + 3)}$

$r = - 2 + \sqrt{2 (x + 3)}$

$r = - 2 - \sqrt{2 (x + 3)}$

Schritt 4

Mit den beiden gefundenen Werten von $r$ lassen sich zwei Lösungen entwickeln.

$y_{1} = e^{(- 2 + \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

$y_{2} = e^{(- 2 - \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

Schritt 5

Gemäß dem Überlagerungsprinzip ist die allgemeine Lösung eine Linearkombination von zwei Lösungen für eine homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung.

$y = c_{1} e^{(- 2 + \sqrt{2 (x + 3)}) x} + c_{2} e^{(- 2 - \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = c_{1} e^{- 2 x + \sqrt{2 (x + 3)} x} + c_{2} e^{(- 2 - \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = c_{1} e^{- 2 x + \sqrt{2 (x + 3)} x} + c_{2} e^{- 2 x - \sqrt{2 (x + 3)} x}$