Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x^{2} + 2 x$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 2$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 2 d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{2 x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x)$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x)$

Schritt 2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x$ um.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{2 x} y = \int x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{2 x} y = \int x^{2} e^{2 x} d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.4

Da $\frac{1}{2} \cdot 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2} \cdot 2$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.5.3

Mutltipliziere $\int e^{2 x} (x) d x$ mit $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.7

Vereinfache.

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Schritt 6.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.7.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.9

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 6.9.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 6.9.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 6.9.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.9.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 6.9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.10

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.12

Vereinfache.

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Schritt 6.12.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.13

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.14

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 \int x e^{2 x} d x$

Schritt 6.15

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 6.16

Vereinfache.

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Schritt 6.16.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 6.16.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 6.16.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Schritt 6.17

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Schritt 6.18

Sei $u_{2} = 2 x$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.18.1

Es sei $u_{2} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 6.18.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 6.18.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.18.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.18.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 6.18.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 6.19

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Schritt 6.20

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

Schritt 6.21

Vereinfache.

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Schritt 6.21.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 6.21.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 6.22

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))$

Schritt 6.23

Vereinfache.

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Schritt 6.23.1

Vereinfache.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{2}}) + C$

Schritt 6.23.2

Vereinfache.

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Schritt 6.23.2.1

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) + C$

Schritt 6.23.2.2

Um $2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Schritt 6.23.2.3

Kombiniere $2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4})$ und $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 6.23.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 6.23.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4})}{2} + C$

Schritt 6.24

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 6.24.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4})}{2} + C$

Schritt 6.24.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Schritt 6.25

Vereinfache.

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Schritt 6.25.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Schritt 6.25.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.25.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Schritt 6.25.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Schritt 6.25.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Schritt 6.25.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.25.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{2 x}}{4}$ in den Zähler.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

Schritt 6.25.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

Schritt 6.25.3.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C$

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 6.26

Stelle die Terme um.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} x e^{2 x} + \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}) + C$

Schritt 7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x}) + \frac{1}{2} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

Schritt 7.1.2

Vereinfache.

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Schritt 7.1.2.1

Multipliziere $\frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x})$ .

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Schritt 7.1.2.1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{1}{2} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

Schritt 7.1.2.1.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

Schritt 7.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x e^{2 x}$ heraus.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

Schritt 7.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

Schritt 7.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

Schritt 7.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 7.1.3

Stelle die Faktoren von $x e^{2 x}$ um.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + e^{2 x} x - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 7.1.4

Subtrahiere $\frac{e^{2 x}}{2}$ von $e^{2 x} x$ .

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Schritt 7.1.4.1

Stelle $e^{2 x}$ und $x$ um.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 7.1.4.2

Um $x e^{2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 7.1.4.3

Kombiniere $x e^{2 x}$ und $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 7.1.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 7.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 7.1.6

Stelle die Faktoren in $x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}$ um.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 7.1.7

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.7.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $x^{2} e^{2 x}$ heraus.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} x^{2} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 7.1.7.2

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $2 x e^{2 x}$ heraus.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 7.1.7.3

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- e^{2 x}$ heraus.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C$

Schritt 7.1.7.4

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x)$ heraus.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C$

Schritt 7.1.7.5

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} (x^{2} + 2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ heraus.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$

Schritt 7.1.8

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{x}{2} \cdot e^{2 x} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$

Schritt 7.1.9

Kombiniere $e^{2 x}$ und $\frac{x}{2}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{e^{2 x} x}{2} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} y = - \frac{e^{2 x} x}{2} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$ durch $e^{2 x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} y = - \frac{e^{2 x} x}{2} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$ durch $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{- \frac{e^{2 x} x}{2}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x}$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{- \frac{e^{2 x} x}{2}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{2 x} x}{2}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- \frac{e^{2 x} x}{2} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.2.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.2.3

Schreibe $- 1 e^{2 x}$ als $- e^{2 x}$ um.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 7.2.3.3.1

Addiere $- e^{2 x} x$ und $2 e^{2 x} x$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{1 e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.3.3.2.1

Mutltipliziere $e^{2 x}$ mit $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.3.2.2

Stelle die Faktoren in $e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} - e^{2 x}$ um.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{x e^{2 x} + x^{2} e^{2 x} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.3.4.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{x e^{2 x} + x^{2} e^{2 x} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.4.2.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $x e^{2 x} + x^{2} e^{2 x} - e^{2 x}$ heraus.

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Schritt 7.2.3.4.2.1.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $x e^{2 x}$ heraus.

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} x + x^{2} e^{2 x} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.4.2.1.2

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $x^{2} e^{2 x}$ heraus.

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.4.2.1.3

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- e^{2 x}$ heraus.

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} \cdot - 1}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.4.2.1.4

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2}$ heraus.

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} (x + x^{2}) + e^{2 x} \cdot - 1}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.4.2.1.5

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} (x + x^{2}) + e^{2 x} \cdot - 1$ heraus.

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} (x + x^{2} - 1)}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.4.2.2

Stelle die Terme um.

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1)}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.5

Um $\frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1)}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1)}{2} \cdot \frac{2}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1)}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2}{2 \cdot 2}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} + e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.8.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} + e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2$ heraus.

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Schritt 7.2.3.8.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.8.1.2

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} ((x^{2} + x - 1) \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.8.1.3

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} ((x^{2} + x - 1) \cdot 2)$ heraus.

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + (x^{2} + x - 1) \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + x^{2} \cdot 2 + x \cdot 2 - 1 \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.8.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.8.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + 2 \cdot x^{2} + x \cdot 2 - 1 \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.8.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + 2 \cdot x^{2} + 2 \cdot x - 1 \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.8.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + 2 \cdot x^{2} + 2 \cdot x - 2)}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.8.4

Mutltipliziere $2$ mit $x$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + 2 x^{2} + 2 x - 2)}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.8.5

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.9

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{C \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.2.3.10.1

Kombiniere $C$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{C \cdot 4}{4} + \frac{e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.10.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{C \cdot 4 + e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.11.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{\frac{4 \cdot C + e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\frac{4 C + e^{2 x} (2 x^{2}) + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.11.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.11.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.11.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.11.3.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.11.4

Vereinfache jeden Term.

$y = \frac{\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.12

Stelle die Faktoren in $\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - e^{2 x}}{4}$ um.

$y = \frac{\frac{4 C + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.13

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{4 C + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.3.14

Mutltipliziere $\frac{4 C + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{4}$ mit $\frac{1}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{4 C + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{4 e^{2 x}}$