Analysis Beispiele

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ given the initial condition that $x (0) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ durch $x e^{- t}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ durch $x e^{- t}$ .

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- t}$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $\frac{d x}{d t}$ durch $1$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x (\frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Kombinieren.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{e^{- t} x}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $e^{- t} x$ heraus.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t \cdot 1}{e^{- t}}$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$x d x = \frac{t}{e^{- t}} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int x d x = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{- t}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t {(e^{- t})}^{- 1} d t$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- t})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{- t \cdot - 1} d t$

Schritt 2.3.1.2.2

Multipliziere $- t \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.1.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{1 t} d t$

Schritt 2.3.1.2.2.2

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Schritt 2.3.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t$ und $d v = e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $e^{t}$ nach $t$ ist $e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

Schritt 2.3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} x^{2} = e^{t} t - e^{t} + K$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (e^{t} t - e^{t} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} = 2 (e^{t} t) + 2 (- e^{t}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} = 2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Stelle die Faktoren in $2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$ um.

$x^{2} = 2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t e^{t}$ heraus.

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) - 2 e^{t} + 2 K}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 e^{t}$ heraus.

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 K$ heraus.

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Schritt 3.4.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t})$ heraus.

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K}$

Schritt 3.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K$ heraus.

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Schritt 4

Da $x$ positiv in der Anfangsbedingung $(0, 1)$ ist, betrachte nur $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ um $K$ zu finden. Ersetze $0$ für $t$ und $1$ für $x$ .

$1 = \sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$

Schritt 5

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$ um.

$\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$

Schritt 5.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}}^{2} = 1^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$ als ${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache ${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Schritt 5.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

${(2 (0 \cdot 1 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

${(2 (0 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

${(2 (0 - 1 \cdot 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${(2 (0 - 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Schritt 5.3.2.1.3

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 5.3.2.1.3.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

${(2 (- 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Schritt 5.3.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(2 \cdot - 1 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

Schritt 5.3.2.1.3.3

Multipliziere.

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Schritt 5.3.2.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

${(- 2 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

Schritt 5.3.2.1.3.3.2

Vereinfache.

$- 2 + 2 K = 1^{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 2 + 2 K = 1$

Schritt 5.4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 5.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.1.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 K = 1 + 2$

Schritt 5.4.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$2 K = 3$

Schritt 5.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 K = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 K = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 5.4.2.2.1.2

Dividiere $K$ durch $1$ .

$K = \frac{3}{2}$

Schritt 6

Setze $\frac{3}{2}$ für $K$ in $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ ein und vereinfache.

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Schritt 6.1

Ersetze $K$ durch $\frac{3}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + \frac{3}{2})}$

Schritt 6.2

Stelle die Terme um.

$x = \sqrt{2 (e^{t} t + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Schritt 6.3

Um $e^{t} t$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (e^{t} t \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Schritt 6.4

Kombiniere $e^{t} t$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Schritt 6.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2 + 3}{2} - e^{t})}$

Schritt 6.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{t} t$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t})}$

Schritt 6.7

Um $- e^{t}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t} \cdot \frac{2}{2})}$

Schritt 6.8

Kombiniere $- e^{t}$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} + \frac{- e^{t} \cdot 2}{2})}$

Schritt 6.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - e^{t} \cdot 2}{2}}$

Schritt 6.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}}$

Schritt 6.11

Kombiniere $2$ und $\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

Schritt 6.12

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.12.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.12.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

Schritt 6.12.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \sqrt{\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{1}}$

Schritt 6.12.2

Dividiere $2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}$ durch $1$ .

$x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$

Schritt 6.13

Stelle die Faktoren in $x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$ um.

$x = \sqrt{2 t e^{t} + 3 - 2 e^{t}}$