Analysis Beispiele

$(3 x^{2} + 6 x y^{2}) d x + (6 x^{2} y + 4 y^{3}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 3 x^{2} + 6 x y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + 6 x y^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 6 x y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Da $3 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $6 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $6 x y^{2}$ nach $y$ gleich $6 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x (2 y)$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 12 x y$

Schritt 1.4

Addiere $0$ und $12 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} y + 4 y^{3}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} y + 4 y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2} y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $6 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2} y$ nach $x$ gleich $6 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y x + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Schritt 2.4

Da $4 y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y x + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Addiere $12 y x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y x$

Schritt 2.5.2

Stelle die Faktoren von $12 y x$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $12 x y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $12 x y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$12 x y = 12 x y$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$12 x y = 12 x y$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} + 6 x y^{2} d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = 3 x^{2} + 6 x y^{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} d x + \int 6 x y^{2} d x$

Schritt 5.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 \int x^{2} d x + \int 6 x y^{2} d x$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 6 x y^{2} d x$

Schritt 5.4

Da $6 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6 y^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 y^{2} \int x d x$

Schritt 5.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 5.7

Vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 5.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 5.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = 1 x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 5.7.3

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$f (x, y) = x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 5.7.4

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + y^{2} \frac{6}{2} x^{2} + C$

Schritt 5.7.5

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{6}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{y^{2} \cdot 6}{2} x^{2} + C$

Schritt 5.7.6

Bringe $6$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{6 \cdot y^{2}}{2} x^{2} + C$

Schritt 5.7.7

Mutltipliziere $6$ mit $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{6 y^{2}}{2} x^{2} + C$

Schritt 5.7.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 5.7.8.1

Faktorisiere $2$ aus $6 y^{2}$ heraus.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (3 y^{2})}{2} x^{2} + C$

Schritt 5.7.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.7.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (3 y^{2})}{2 (1)} x^{2} + C$

Schritt 5.7.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (3 y^{2})}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Schritt 5.7.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 y^{2}}{1} x^{2} + C$

Schritt 5.7.8.2.4

Dividiere $3 y^{2}$ durch $1$ .

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

Schritt 8.2

Differenziere.

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Schritt 8.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

Schritt 8.2.2

Da $x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{3}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $3 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{2} x^{2}$ nach $y$ gleich $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 3 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$0 + 6 x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$0 + 6 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Addiere $0$ und $6 x^{2} y$ .

$6 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

Schritt 8.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 6 x^{2} y = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $6 x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y + 4 y^{3} - 6 x^{2} y$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 x^{2} y + 4 y^{3} - 6 x^{2} y$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $6 x^{2} y$ von $6 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{3} + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $4 y^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{3}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $4 y^{3}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 4 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{3} d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y^{3} d y$

Schritt 10.3

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$g (y) = 4 \int y^{3} d y$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Schritt 10.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.5.1

Schreibe $4 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ als $4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ um.

$g (y) = 4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Schritt 10.5.2

Vereinfache.

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Schritt 10.5.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{4}{4} y^{4} + C$

Schritt 10.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \frac{4}{4} y^{4} + C$

Schritt 10.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = 1 y^{4} + C$

Schritt 10.5.2.3

Mutltipliziere $y^{4}$ mit $1$ .

$g (y) = y^{4} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + y^{4} + C$