Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x + 1} = {(x + 1)}^{3}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $- \frac{2 y}{x + 1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x + 1}) = {(x + 1)}^{3}$

Schritt 1.2

Stelle $y$ und $- \frac{2}{x + 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x + 1} y = {(x + 1)}^{3}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - \frac{2}{x + 1}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{2}{x + 1} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $- \frac{2}{x + 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{2}{x + 1} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Schritt 2.2.4

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.4.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.2.4.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.2.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.4.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 2 \ln (x + 1)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

${(x + 1)}^{- 2}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Schritt 3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{2}{x + 1}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Schritt 3.2.4

Multipliziere $- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 y}{x + 1}$ mit $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{(x + 1) {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Schritt 3.2.4.2

Multipliziere $x + 1$ mit ${(x + 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.4.2.1

Mutltipliziere $x + 1$ mit ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Schritt 3.2.4.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus ${(x + 1)}^{3}$ heraus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = x + 1$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] = x + 1$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int x + 1 d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x + 1 d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x d x + \int d x$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x$

Schritt 7.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C$

Schritt 7.4

Vereinfache.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ und $y$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + x + C$

Schritt 8.3

Multipliziere beide Seiten mit ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 8.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Vereinfache $(\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x^{2}}{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und ${(x + 1)}^{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.3

Um $x {(x + 1)}^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.4

Kombiniere $x {(x + 1)}^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + \frac{x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.6

Faktorisiere $x {(x + 1)}^{2}$ aus $x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ heraus.

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Schritt 8.4.2.1.6.1

Faktorisiere $x {(x + 1)}^{2}$ aus $x^{2} {(x + 1)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.6.2

Faktorisiere $x {(x + 1)}^{2}$ aus $x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.6.3

Faktorisiere $x {(x + 1)}^{2}$ aus $x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)$ heraus.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.7

Um $C {(x + 1)}^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 8.4.2.1.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.4.2.1.8.1

Kombiniere $C {(x + 1)}^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + \frac{C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

Schritt 8.4.2.1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

Schritt 8.4.2.1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.2.1.9.1

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus $x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ heraus.

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Schritt 8.4.2.1.9.1.1

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus $x {(x + 1)}^{2} (x + 2)$ heraus.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

Schritt 8.4.2.1.9.1.2

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus $C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)}{2}$

Schritt 8.4.2.1.9.1.3

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus ${(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)$ heraus.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2) + C \cdot 2)}{2}$

Schritt 8.4.2.1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

Schritt 8.4.2.1.9.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

Schritt 8.4.2.1.9.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 \cdot x + C \cdot 2)}{2}$

Schritt 8.4.2.1.9.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 x + 2 C)}{2}$