Analysis Beispiele

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 2 x^{3} y = 1$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{4} \frac{d y}{d x} + 2 x^{3} y = 1$ durch $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{2 x^{3} y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{2 x^{3} y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x^{3} y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $2 x^{3} y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{3} (2 y)}{x^{4}} = \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{3} (2 y)}{x^{3} x} = \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{3} (2 y)}{x^{3} x} = \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $y$ aus $\frac{2 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $\frac{2}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{2}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{2}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{2})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{1}{x^{2} x^{2}}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{1}{x^{2} x^{2}}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$x^{2} y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$x^{2} y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 7.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{2} y = \int x^{- 2} d x$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$x^{2} y = - x^{- 1} + C$

Schritt 7.3

Schreibe $- x^{- 1} + C$ als $- \frac{1}{x} + C$ um.

$x^{2} y = - \frac{1}{x} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = - \frac{1}{x} + C$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = - \frac{1}{x} + C$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 8.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$y = - \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.3.1.2.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 8.3.1.2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{2} x^{1}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = - \frac{1}{x^{2 + 1}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.2.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{2}}$