Analysis Beispiele

$e^{y} d x + (2 y + x e^{y}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = e^{y}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ gleich $a^{y} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{y}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 y + x e^{y}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + x e^{y}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y + x e^{y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

Schritt 2.2.2

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x e^{y}$ nach $x$ gleich $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + e^{y} \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $e^{y}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + e^{y}$

Schritt 2.4

Addiere $0$ und $e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $e^{y}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $e^{y}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$e^{y} = e^{y}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$e^{y} = e^{y}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{y} d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = e^{y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = e^{y} x + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = e^{y} x + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y + x e^{y}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x + g (y)] = 2 y + x e^{y}$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{y} x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{y}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [e^{y} x]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $e^{y} x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{y}$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ gleich $a^{y} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{y}$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x e^{y} + \frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{y}$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x = 2 y + x e^{y}$

Schritt 8.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d y} + e^{y} x$ um.

$\frac{d g}{d y} + x e^{y} = 2 y + x e^{y}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $x e^{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{y} - x e^{y}$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 y + x e^{y} - x e^{y}$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $x e^{y}$ von $x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $2 y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $2 y$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Schritt 10.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (y) = 2 \int y d y$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 10.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.5.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ um.

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Schritt 10.5.2

Vereinfache.

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Schritt 10.5.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = e^{y} x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = e^{y} x + y^{2} + C$

Schritt 12

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = e^{y} x + y^{2} + C$ um.

$f (x, y) = x e^{y} + y^{2} + C$