Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{3 y^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{3 y^{2}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $3 y^{2}$ heraus.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2} \cdot 3}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2} \cdot 3}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{3}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y^{2} d y = \frac{x - 1}{3} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} d y = \int \frac{x - 1}{3} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x - 1}{3} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x - 1 d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\int x d x + \int - 1 d x)$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 1 d x)$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - x + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{2} - x) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} (- x) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Kombinieren.

$y^{3} = 3 (\frac{1 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{1}{3} (- x) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$y^{3} = 3 (\frac{1 x^{2}}{3 \cdot 2} - \frac{x}{3} + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.5.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{3 \cdot 2} - \frac{x}{3} + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 (2)} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 2} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{3}$ in den Zähler.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 \frac{- x}{3} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 \frac{- x}{3} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} - x + 3 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x + 3 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x + 3 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Um $- x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x \cdot \frac{2}{2} + 3 K}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $- x$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2} + 3 K}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - x \cdot 2}{2} + 3 K}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x \cdot 2$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x - x \cdot 2}{2} + 3 K}$

Schritt 3.4.3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \cdot 2$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)}{2} + 3 K}$

Schritt 3.4.3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 1 \cdot 2)}{2} + 3 K}$

Schritt 3.4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + 3 K}$

Schritt 3.4.4

Um $3 K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + 3 K \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 3.4.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.5.1

Kombiniere $3 K$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + \frac{3 K \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.4.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2) + 3 K \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 3 K \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.4.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 3 K \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.4.6.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 \cdot x + 3 K \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.4.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 x + 6 K}{2}}$

Schritt 3.4.7

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 x + 6 K}{2}}$ als $\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$

Schritt 3.4.8

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.9.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.9.2

Potenziere $\sqrt[3]{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.9.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.4.9.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Schritt 3.4.9.5

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

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Schritt 3.4.9.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.4.9.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.4.9.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.9.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.9.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.9.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.4.9.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Schritt 3.4.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.10.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Schritt 3.4.10.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} \sqrt[3]{4}}{2}$

Schritt 3.4.11

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.4.11.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{2} - 2 x + 6 K) \cdot 4}}{2}$

Schritt 3.4.11.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{(x^{2} - 2 x + 6 K) \cdot 4}}{2}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{2} - 2 x + 6 K)}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{2} - 2 x + K)}}{2}$