Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} = 2 - 4 x^{3}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = 2 - 4 x^{3}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = 2 - 4 x^{3}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{3}}{x}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{3}}{x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{3}}{x}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x}$

Schritt 1.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x^{1}}$

Schritt 1.1.3.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{2}}{1}$

Schritt 1.1.3.1.2.5

Dividiere $- 4 x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} - 4 x^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\frac{2}{x} - 4 x^{2}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{2}{x} - 4 x^{2} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x} - 4 x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x + \int - 4 x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x + \int - 4 x^{2} d x$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - 4 x^{2} d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) - 4 \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) - 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) + \frac{- 4}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) - \frac{4}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - \frac{4}{3} x^{3} + 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = - \frac{4}{3} x^{3} + 2 \ln (| x |) + C$