Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} y - y$ , $y (1) = - 3$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $4 x^{3} y - y$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $4 x^{3} y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3}) - y$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3}) + y \cdot - 1$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y (4 x^{3}) + y \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3} - 1)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (4 x^{3} - 1))$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (4 x^{3} - 1))$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 1$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = (4 x^{3} - 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{4} - x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = x^{4} - x + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{4} - x + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = x^{4} - x + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x^{4} - x + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{x^{4} - x + C}$ um.

$| y | = e^{x^{4} - x + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{4} - x + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{x^{4} - x + C}$ als $e^{x^{4} - x} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{x^{4} - x} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{x^{4} - x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{x^{4} - x}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{x^{4} - x}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $1$ für $x$ und $- 3$ für $y$ in $y = C e^{x^{4} - x}$ ersetzt wird.

$- 3 = C e^{1^{4} - 1 \cdot 1}$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $C e^{1^{4} - 1 \cdot 1} = - 3$ um.

$C e^{1^{4} - 1 \cdot 1} = - 3$

Schritt 6.2

Vereinfache $C e^{1^{4} - 1 \cdot 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$C e^{1 - 1 \cdot 1} = - 3$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$C e^{1 - 1} = - 3$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$C e^{0} = - 3$

Schritt 6.2.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$C \cdot 1 = - 3$

Schritt 6.2.2.3

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$C = - 3$

Schritt 7

Setze $- 3$ für $C$ in $y = C e^{x^{4} - x}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $- 3$ .

$y = - 3 e^{x^{4} - x}$