Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2}}{x y}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Spalte $\frac{3 x^{2} + y^{2}}{x y}$ auf und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{3 x^{2} + y^{2}}{x y}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x (y)} + \frac{y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Schritt 1.1.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y}{x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Differentialgleichung als $f (\frac{y}{x})$ um.

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Schritt 1.2.1

Klammere $\frac{x}{y}$ von $\frac{3 x}{y}$ aus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $\frac{x}{y}$ aus $\frac{3 x}{y}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot 3 + \frac{y}{x}$

Schritt 1.2.1.2

Stelle $\frac{x}{y}$ und $3$ um.

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\frac{x}{y}$ als ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot V^{- 1} + V$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot V^{- 1} + V$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot \frac{1}{V} + V$

Schritt 6.1.1.1.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{V} + V$

Schritt 6.1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} + V - V$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{3}{V} + V - V$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} + 0$

Schritt 6.1.1.2.2.2

Addiere $\frac{3}{V}$ und $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V}$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{3}{V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{V x}$

Schritt 6.1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{V}{3}$ .

$\frac{V}{3} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{3} (\frac{3}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{3} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{3} \cdot \frac{3}{V x}$

Schritt 6.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V$ .

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Schritt 6.1.4.2.1

Faktorisiere $V$ aus $V x$ heraus.

$\frac{V}{3} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{3} \cdot \frac{3}{V (x)}$

Schritt 6.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V}{3} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{3} \cdot \frac{3}{V x}$

Schritt 6.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{V}{3} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x}$

Schritt 6.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V}{3} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x}$

Schritt 6.1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{V}{3} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{V}{3} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{V}{3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $V$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $V$ nach $V$ gleich $\frac{1}{2} V^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.2.2.3.1

Schreibe $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1})$ als $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} V^{2} + C_{1}$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{6} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{6} V^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{6} V^{2} = \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $6$ .

$6 (\frac{1}{6} V^{2}) = 6 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1.1

Vereinfache $6 (\frac{1}{6} V^{2})$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $V^{2}$ .

$6 \frac{V^{2}}{6} = 6 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \frac{V^{2}}{6} = 6 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$V^{2} = 6 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$V^{2} = 6 \ln (| x |) + 6 C$

Schritt 6.3.3

Vereinfache $6 \ln (| x |)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$V^{2} = \ln ({| x |}^{6}) + 6 C$

Schritt 6.3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$V = \pm \sqrt{\ln ({| x |}^{6}) + 6 C}$

Schritt 6.3.5

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{6}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$V = \pm \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

Schritt 6.3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$V = \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

Schritt 6.3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$V = - \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

Schritt 6.3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$V = \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{6}) + 6 C}$

Schritt 6.4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{6}) + C}, - \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Forme um.

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x$

Schritt 8.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x$

Schritt 8.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x$

Schritt 9

Löse $\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$ nach $y$ auf.

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Schritt 9.1

Forme um.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C}$

Schritt 9.2

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x$

Schritt 9.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x$

Schritt 9.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x$

Schritt 10

Liste die Lösungen auf.

$y = \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x, y = - \sqrt{\ln (x^{6}) + C} x$