Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} = y + x y$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = y + x y$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = y + x y$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

Schritt 1.1.3.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $\frac{y}{x} + y$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $\frac{y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x} + y$

Schritt 1.2.1.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x} + y^{1}$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x} + y \cdot 1$

Schritt 1.2.1.4

Faktorisiere $y$ aus $y \frac{1}{x} + y \cdot 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{1}{x} + 1)$

Schritt 1.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{1}{x} + \frac{x}{x})$

Schritt 1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{x}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x})$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x})$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 + x}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

Schritt 2.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = x + C$

Schritt 3.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x + C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{x + C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{| x |} = e^{x + C}$ um.

$\frac{| y |}{| x |} = e^{x + C}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| x |$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Schritt 3.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{x + C} | x |$

Schritt 3.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{x + C} | x |$ um.

$| y | = | x | e^{x + C}$

Schritt 3.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{x + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{x + C}$ als $e^{x} e^{C}$ um.

$y = \pm | x | (e^{x} e^{C})$

Schritt 4.2

Stelle $e^{x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm | x | (e^{C} e^{x})$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C | x | e^{x}$