Analysis Beispiele

$(9 x^{2} + y - 1) d x - (4 y - x) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 9 x^{2} + y - 1$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [9 x^{2} + y - 1]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} + y - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 1.3

Da $9 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 1.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1 + 0$

Schritt 1.6

Vereine die Terme

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Schritt 1.6.1

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

Schritt 1.6.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - (4 y - x)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (4 y - x)]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (4 y - x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [4 y - x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [4 y - x]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 y - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.4

Da $4 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7

Multipliziere.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $\frac{d}{d x} [x]$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$1 = 1$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$1 = 1$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (4 y - x) d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = - (4 y - x)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \int 4 y - x d y$

Schritt 5.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = - (\int 4 y d y + \int - x d y)$

Schritt 5.3

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - (4 \int y d y + \int - x d y)$

Schritt 5.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - x d y)$

Schritt 5.5

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = - (4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - x y + C)$

Schritt 5.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (4 (\frac{y^{2}}{2} + C) - x y + C)$

Schritt 5.7

Vereinfache.

$f (x, y) = - (2 y^{2} - x y) + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - (2 y^{2} - x y) + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 9 x^{2} + y - 1$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 y^{2} - x y) + g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- (2 y^{2} - x y) + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- (2 y^{2} - x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 y^{2} - x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- (2 y^{2} - x y)]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (2 y^{2} - x y)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [2 y^{2} - x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [2 y^{2} - x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Schritt 8.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y^{2} - x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Schritt 8.3.3

Da $2 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- (0 + \frac{d}{d x} [- x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Schritt 8.3.4

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (0 - y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Schritt 8.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (0 - y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Schritt 8.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- (0 - y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Schritt 8.3.7

Subtrahiere $y$ von $0$ .

$- - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Schritt 8.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Schritt 8.3.9

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y + \frac{d g}{d x} = 9 x^{2} + y - 1$

Schritt 8.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + y = 9 x^{2} + y - 1$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 9 x^{2} + y - 1 - y$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $9 x^{2} + y - 1 - y$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $y$ von $y$ .

$\frac{d g}{d x} = 9 x^{2} + 0 - 1$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $9 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 9 x^{2} - 1$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $9 x^{2} - 1$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 9 x^{2} - 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 9 x^{2} - 1 d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 9 x^{2} - 1 d x$

Schritt 10.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (x) = \int 9 x^{2} d x + \int - 1 d x$

Schritt 10.4

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$g (x) = 9 \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Schritt 10.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 1 d x$

Schritt 10.6

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - x + C$

Schritt 10.7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$g (x) = 9 (\frac{x^{3}}{3} + C) - x + C$

Schritt 10.8

Vereinfache.

$g (x) = 3 x^{3} - x + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - (2 y^{2} - x y) + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - (2 y^{2} - x y) + 3 x^{3} - x + C$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = - (2 y^{2}) - (- x y) + 3 x^{3} - x + C$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 y^{2} - (- x y) + 3 x^{3} - x + C$

Schritt 12.3

Multipliziere $- (- x y)$ .

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Schritt 12.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 y^{2} + 1 (x y) + 3 x^{3} - x + C$

Schritt 12.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (x, y) = - 2 y^{2} + x y + 3 x^{3} - x + C$