Analysis Beispiele

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r θ + r}{r θ + θ}$ , $r (1) = e$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $r$ aus $r θ + r$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $r$ aus $r θ$ heraus.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r}{r θ + θ}$

Schritt 1.1.2

Potenziere $r$ mit $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r^{1}}{r θ + θ}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $r$ aus $r^{1}$ heraus.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r \cdot 1}{r θ + θ}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $r$ aus $r (θ) + r \cdot 1$ heraus.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{r θ + θ}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $θ$ aus $r θ + θ$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $θ$ aus $r θ$ heraus.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ}$

Schritt 1.2.2

Potenziere $θ$ mit $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ^{1}}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $θ$ aus $θ^{1}$ heraus.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ \cdot 1}$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $θ$ aus $θ r + θ \cdot 1$ heraus.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ (r + 1)}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{r + 1}{r}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} (\frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{r}{r + 1}$ mit $\frac{θ + 1}{θ}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r + 1$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $r + 1$ aus $(r + 1) θ$ heraus.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) (θ)}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

Schritt 1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

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Schritt 1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

Schritt 1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{θ + 1}{θ}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{r + 1}{r} d r = \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{r + 1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{r}{r} + \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Schritt 2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Schritt 2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\int d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Schritt 2.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$r + C_{1} + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{r}$ nach $r$ ist $\ln (| r |)$ .

$r + C_{1} + \ln (| r |) + C_{2} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} + \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $θ$ .

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \int \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\frac{1}{θ}$ nach $θ$ ist $\ln (| θ |)$ .

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \ln (| θ |) + C_{5}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + \ln (| θ |) + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $1$ für $θ$ und $e$ für $r$ in $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ ersetzt wird.

$e + \ln (| e |) = 1 + \ln (| 1 |) + C$

Schritt 4

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$ um.

$1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 1 |) - \ln (| e |) = - 1 - C + e$

Schritt 4.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| e |}) = - 1 - C + e$

Schritt 4.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\ln (\frac{1}{| e |}) = - 1 - C + e$

Schritt 4.5

$e$ ist ungefähr $2.71828182$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\ln (\frac{1}{e}) = - 1 - C + e$

Schritt 4.6

Schreibe $\frac{1}{e}$ als $1 e^{- 1}$ um.

$\ln (1 e^{- 1}) = - 1 - C + e$

Schritt 4.7

Schreibe $\ln (1 e^{- 1})$ als $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ um.

$\ln (1) + \ln (e^{- 1}) = - 1 - C + e$

Schritt 4.8

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\ln (1) - \ln (e) = - 1 - C + e$

Schritt 4.9

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (1) - 1 \cdot 1 = - 1 - C + e$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (1) - 1 = - 1 - C + e$

Schritt 4.11

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$0 - 1 = - 1 - C + e$

Schritt 4.12

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1 = - 1 - C + e$

Schritt 4.13

Da $C$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 1 - C + e = - 1$

Schritt 4.14

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.14.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- C + e = - 1 + 1$

Schritt 4.14.2

Subtrahiere $e$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- C = - 1 + 1 - e$

Schritt 4.14.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$- C = 0 - e$

Schritt 4.14.4

Subtrahiere $e$ von $0$ .

$- C = - e$

Schritt 4.15

Teile jeden Ausdruck in $- C = - e$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.15.1

Teile jeden Ausdruck in $- C = - e$ durch $- 1$ .

$\frac{- C}{- 1} = \frac{- e}{- 1}$

Schritt 4.15.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.15.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{C}{1} = \frac{- e}{- 1}$

Schritt 4.15.2.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{- e}{- 1}$

Schritt 4.15.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.15.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$C = \frac{e}{1}$

Schritt 4.15.3.2

Dividiere $e$ durch $1$ .

$C = e$

Schritt 5

Setze $e$ für $C$ in $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $C$ durch $e$ .

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + e$