Analysis Beispiele

$3 x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 3 x y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y]$

Schritt 1.2

Da $3 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x y$ nach $y$ gleich $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.4

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Schritt 2.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $3 x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$3 x = 2 x$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$3 x = 2 x$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 x$ .

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $3 x$ .

$\frac{2 x - (3 x)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $3 x y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $3 x y$ .

$\frac{2 x - (3 x)}{3 x y}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x - 1 \cdot 3 x$ heraus.

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Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 2 - 1 \cdot 3 x}{3 x y}$

Schritt 4.3.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 1 \cdot 3 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 2 + x (- 1 \cdot 3)}{3 x y}$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 2 + x (- 1 \cdot 3)$ heraus.

$\frac{x (2 - 1 \cdot 3)}{3 x y}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{x (2 - 3)}{3 x y}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{x \cdot - 1}{3 x y}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot - 1}{3 x y}$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{3 y}$

Schritt 4.3.4

Ersetze $M$ durch $3 x y$ .

$- \frac{1}{3 y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{3 y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{1}{3 y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{3 y} d y}$

Schritt 5.2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 5.3

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{3} (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.4

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{3} \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1

Multipliziere $- \frac{1}{3} \ln (| y |)$ .

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Schritt 5.5.1.1

Stelle $\ln (| y |)$ und $\frac{1}{3}$ um.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{3} \ln (| y |))} + C$

Schritt 5.5.1.2

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (| y |)$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y |}^{\frac{1}{3}})} + C$

Schritt 5.5.2

Vereinfache $- \ln ({| y |}^{\frac{1}{3}})$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1})} + C$

Schritt 5.5.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {({| y |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1} + C$

Schritt 5.5.4

Multipliziere die Exponenten in ${({| y |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.5.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{1}{3} \cdot - 1} + C$

Schritt 5.5.4.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{- 1}{3}} + C$

Schritt 5.5.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$μ (x, y) = {| y |}^{- \frac{1}{3}} + C$

Schritt 5.5.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{\frac{1}{3}}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $3 x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $3 x y$ mit $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$3 x y \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.2

Multipliziere $3 x y \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$x y \frac{3}{y^{\frac{1}{3}}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y \frac{x \cdot 3}{y^{\frac{1}{3}}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $y$ und $\frac{x \cdot 3}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{y (x \cdot 3)}{y^{\frac{1}{3}}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.3

Bringe $y^{\frac{1}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y (x \cdot 3) y^{- \frac{1}{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.4

Multipliziere $y$ mit $y^{- \frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1

Bewege $y^{- \frac{1}{3}}$ .

$y^{- \frac{1}{3}} y (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $y^{- \frac{1}{3}}$ mit $y$ .

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Schritt 6.4.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{- \frac{1}{3}} y^{1} (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{- \frac{1}{3} + 1} (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{\frac{- 1 + 3}{3}} (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.4.5

Addiere $- 1$ und $3$ .

$y^{\frac{2}{3}} (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 y^{\frac{2}{3}} x d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.6

Stelle die Faktoren in $3 y^{\frac{2}{3}} x$ um.

$3 x y^{\frac{2}{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $x^{2} + y^{2}$ mit $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$3 x y^{\frac{2}{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $x^{2} + y^{2}$ mit $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$3 x y^{\frac{2}{3}} d x + \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x y^{\frac{2}{3}} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = 3 x y^{\frac{2}{3}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $3 y^{\frac{2}{3}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3 y^{\frac{2}{3}}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 y^{\frac{2}{3}} \int x d x$

Schritt 8.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 8.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.3.1

Schreibe $3 y^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $3 y^{\frac{2}{3}} \frac{1}{2} x^{2} + C$ um.

$f (x, y) = 3 y^{\frac{2}{3}} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.3.2

Vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{\frac{2}{3}} \frac{3}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.3.2.2

Kombiniere $y^{\frac{2}{3}}$ und $\frac{3}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.3.2.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot y^{\frac{2}{3}}}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.3.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $y^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.3.2.5

Kombiniere $\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2} + C$

Schritt 8.3.3

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = \frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2}]$ .

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Schritt 11.3.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.3.2

Kombiniere $\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.3.3

Da $\frac{3 x^{2}}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2}$ nach $y$ gleich $\frac{3 x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.3.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.3.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.3.8.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.3.10

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $y^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.3.11

Mutltipliziere $\frac{3 x^{2}}{2}$ mit $\frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 x^{2} (2 y^{- \frac{1}{3}})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.3.12

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 x^{2} y^{- \frac{1}{3}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.3.13

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 x^{2} y^{- \frac{1}{3}}}{6} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.3.14

Bringe $y^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6 x^{2}}{6 y^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.3.15

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x^{2}}{6 y^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.3.16

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$\frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Vereinfache $\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

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Schritt 12.1.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.1.1.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2} - (x^{2} + y^{2})}{y^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 12.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2} - x^{2} - y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 12.1.1.1.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 12.1.1.1.4

Subtrahiere $y^{2}$ von $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 12.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.2.1

Bringe $y^{\frac{1}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{2} y^{- \frac{1}{3}} = 0$

Schritt 12.1.1.2.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{- \frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.1.2.2.1

Bewege $y^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{d g}{d y} - (y^{- \frac{1}{3}} y^{2}) = 0$

Schritt 12.1.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d g}{d y} - y^{- \frac{1}{3} + 2} = 0$

Schritt 12.1.1.2.2.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{- \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} = 0$

Schritt 12.1.1.2.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{- \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} = 0$

Schritt 12.1.1.2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} - y^{\frac{- 1 + 2 \cdot 3}{3}} = 0$

Schritt 12.1.1.2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1.2.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{\frac{- 1 + 6}{3}} = 0$

Schritt 12.1.1.2.2.6.2

Addiere $- 1$ und $6$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{\frac{5}{3}} = 0$

Schritt 12.1.2

Addiere $y^{\frac{5}{3}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = y^{\frac{5}{3}}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $y^{\frac{5}{3}}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = y^{\frac{5}{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{\frac{5}{3}} d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{\frac{5}{3}} d y$

Schritt 13.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{\frac{5}{3}}$ nach $y$ gleich $\frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}}$ .

$g (y) = \frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + \frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}} + C$

Schritt 15

Vereinfache $f (x, y) = \frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + \frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}} + C$ .

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $y^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} x^{2} + \frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}} + C$

Schritt 15.1.2

Kombiniere $\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2} + \frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}} + C$

Schritt 15.1.3

Kombiniere $\frac{3}{8}$ und $y^{\frac{8}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2} + \frac{3 y^{\frac{8}{3}}}{8} + C$

Schritt 15.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2} + \frac{3 y^{\frac{8}{3}}}{8} + C$ um.

$f (x, y) = \frac{3 x^{2} y^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{8}{3}}}{8} + C$