Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 \sqrt{\frac{y}{x}}$

Schritt 1

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2 \sqrt{V}$

Schritt 2

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 3

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 4

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2 \sqrt{V}$

Schritt 5

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 5.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 5.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 5.1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 \sqrt{V} - V$

Schritt 5.1.1.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $V + 2 \sqrt{V} - V$ .

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Schritt 5.1.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + 2 \sqrt{V}$

Schritt 5.1.1.1.2.2

Addiere $0$ und $2 \sqrt{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2 \sqrt{V}$

Schritt 5.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = 2 \sqrt{V}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = 2 \sqrt{V}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

Schritt 5.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

Schritt 5.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{V}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

Schritt 5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{V}$ .

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Schritt 5.1.3.1

Faktorisiere $\sqrt{V}$ aus $2 \sqrt{V}$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V} \cdot 2}{x}$

Schritt 5.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V} \cdot 2}{x}$

Schritt 5.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

Schritt 5.1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sqrt{V}} d V = \frac{2}{x} d x$

Schritt 5.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 5.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sqrt{V}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 5.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.2.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{V}$ als $V^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{V^{\frac{1}{2}}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 5.2.2.1.2

Bringe $V^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 5.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 5.2.2.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int V^{\frac{- 1}{2}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 5.2.2.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 5.2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $V^{- \frac{1}{2}}$ nach $V$ gleich $2 V^{\frac{1}{2}}$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 5.2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 5.2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache.

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 5.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$2 V^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$

Schritt 5.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 V^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 V^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$ durch $2$ .

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 5.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 5.3.1.2.2

Dividiere $V^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 5.3.1.3.1.2

Dividiere $\ln (| x |)$ durch $1$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Schritt 5.3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache ${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$V^{1} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 5.3.3.1.2

Vereinfache.

$V = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 5.4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Schritt 6

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Schritt 7

Löse $\frac{y}{x} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$ nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = {(\ln (| x |) + C)}^{2} x$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = {(\ln (| x |) + C)}^{2} x$

Schritt 7.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = {(\ln (| x |) + C)}^{2} x$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Stelle die Faktoren in ${(\ln (| x |) + C)}^{2} x$ um.

$y = x {(\ln (| x |) + C)}^{2}$