Analysis Beispiele

$2 x^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$ durch $2 x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$ durch $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} \frac{d y}{d x}}{2 x^{2}} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2} \frac{d y}{d x}}{2 x^{2}} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Schritt 1.2

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ aus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{2 x}$

Schritt 1.2.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $\frac{y}{2 x}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{x}$

Schritt 1.3

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{y}{2 x}$ aus.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{y}{2 x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{y}{x}$

Schritt 1.3.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $\frac{1}{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} V \cdot V$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} V \cdot V$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1.1

Multipliziere $V$ mit $V$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.1.1.1

Bewege $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (V \cdot V)$

Schritt 6.1.1.1.1.2

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} V^{2}$

Schritt 6.1.1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} + \frac{V^{2}}{2}$

Schritt 6.1.1.2

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{V^{2}}{2} - V$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{V^{2}}{2} - V$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{V^{2}}{2} - V$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{V^{2}}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{V^{2}}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{V^{2}}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.3.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{V^{2}}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{V^{2}}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x} + \frac{V^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.1.4

Kombinieren.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x} + \frac{V^{2} \cdot 1}{2 x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.1.5

Mutltipliziere $V^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x} + \frac{V^{2}}{2 x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x} + \frac{V^{2}}{2 x} - \frac{V}{x}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 x} - \frac{V}{x}$

Schritt 6.1.2.2

Um $- \frac{V}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 x} - \frac{V}{x} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{V}{x}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 x} - \frac{V \cdot 2}{x \cdot 2}$

Schritt 6.1.2.3.2

Stelle die Faktoren von $x \cdot 2$ um.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 x} - \frac{V \cdot 2}{2 x}$

Schritt 6.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V \cdot 2}{2 x}$

Schritt 6.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - 2 V}{2 x}$

Schritt 6.1.2.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} - 2 V + 1}{2 x}$

Schritt 6.1.2.5.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 6.1.2.5.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} - 2 V + 1^{2}}{2 x}$

Schritt 6.1.2.5.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 V = 2 \cdot V \cdot 1$

Schritt 6.1.2.5.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} - 2 \cdot V \cdot 1 + 1^{2}}{2 x}$

Schritt 6.1.2.5.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = V$ und $b = 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{{(V - 1)}^{2}}{2 x}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{{(V - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(V - 1)}^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{{(V - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(V - 1)}^{2}}{2 x}$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.4.1

Kombinieren.

$\frac{1}{{(V - 1)}^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 {(V - 1)}^{2}}{{(V - 1)}^{2} (2 x)}$

Schritt 6.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(V - 1)}^{2}$ .

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Schritt 6.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{{(V - 1)}^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 {(V - 1)}^{2}}{{(V - 1)}^{2} (2 x)}$

Schritt 6.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(V - 1)}^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{{(V - 1)}^{2}} d V = \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{{(V - 1)}^{2}} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Sei $u = V - 1$ . Dann ist $d u = d V$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Es sei $u = V - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Differenziere $V - 1$ .

$\frac{d}{d V} [V - 1]$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $V - 1$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 1]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 1]$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [- 1]$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.2.2.2.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Schreibe $- u^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{u} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Ersetze alle $u$ durch $V - 1$ .

$- \frac{1}{V - 1} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{V - 1} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{V - 1} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache.

$- \frac{1}{V - 1} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{V - 1} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$- \frac{1}{V - 1} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 6.3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$V - 1, 1, 1$

Schritt 6.3.2.2

Entferne die Klammern.

$V - 1, 1, 1$

Schritt 6.3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$V - 1$

Schritt 6.3.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{V - 1} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ mit $V - 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.3.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{V - 1} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ mit $V - 1$ .

$- \frac{1}{V - 1} (V - 1) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (V - 1) + C (V - 1)$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V - 1$ .

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Schritt 6.3.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{V - 1}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{V - 1} (V - 1) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (V - 1) + C (V - 1)$

Schritt 6.3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{V - 1} (V - 1) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (V - 1) + C (V - 1)$

Schritt 6.3.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (V - 1) + C (V - 1)$

Schritt 6.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1 + C (V - 1)$

Schritt 6.3.3.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ .

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - 1 \cdot \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C (V - 1)$

Schritt 6.3.3.3.1.3

Schreibe $- 1 \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ als $- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ um.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C (V - 1)$

Schritt 6.3.3.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V + C \cdot - 1$

Schritt 6.3.3.3.1.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $C$ .

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - 1 \cdot C$

Schritt 6.3.3.3.1.6

Schreibe $- 1 C$ als $- C$ um.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - C$

Schritt 6.3.3.3.2

Stelle die Faktoren in $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - C$ um.

$- 1 = V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - C$

Schritt 6.3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - C = - 1$ um.

$V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - C = - 1$

Schritt 6.3.4.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) = - C V + C - 1$

Schritt 6.3.4.3

Addiere $C V$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V = C - 1$

Schritt 6.3.4.4

Addiere $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V = C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.4.5

Faktorisiere $V$ aus $V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V$ heraus.

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Schritt 6.3.4.5.1

Faktorisiere $V$ aus $C V$ heraus.

$V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + V C = C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.4.5.2

Faktorisiere $V$ aus $V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + V C$ heraus.

$V (\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C) = C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.4.6

Teile jeden Ausdruck in $V (\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C) = C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ durch $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.4.6.1

Teile jeden Ausdruck in $V (\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C) = C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ durch $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{V (\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} = \frac{C}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- 1}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Schritt 6.3.4.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.4.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ .

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Schritt 6.3.4.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 6.3.4.6.2.1.2

Dividiere $V$ durch $1$ .

$V = \frac{C}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- 1}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Schritt 6.3.4.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.4.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = \frac{C}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} - \frac{1}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Schritt 6.3.4.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = \frac{C - 1}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Schritt 6.3.4.6.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = \frac{C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Schritt 6.4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} x$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} x$

Schritt 8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} x$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache $\frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} x$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ und $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ .

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Schritt 8.2.2.1.1.1

Stelle die Terme um.

$y = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})} x$

Schritt 8.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})} x$

Schritt 8.2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 1 x$

Schritt 8.2.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = x$