Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 8 e^{- 4 x}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = 8 e^{- 4 x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 8 e^{- 4 x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 8 e^{- 4 x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 8 \int e^{- 4 x} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = - 4 x$ . Dann ist $d u = - 4 d x$ , folglich $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = - 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.3.2.1.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Schritt 2.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = 8 \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = 8 \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 8 \int - \frac{e^{u}}{4} d u$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 8 (- \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Schritt 2.3.6

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - 8 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 8$ .

$y + C_{1} = \frac{- 8}{4} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $4$ .

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Schritt 2.3.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{4 \cdot - 2}{4} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.7.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - 2 (e^{u} + C_{2})$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

$y + C_{1} = - 2 e^{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.10

Ersetze alle $u$ durch $- 4 x$ .

$y + C_{1} = - 2 e^{- 4 x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - 2 e^{- 4 x} + K$