Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x y + x^{2}$

Schritt 1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - x y = x^{2}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - x$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - x d x}$

Schritt 2.2

Integriere $- x$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int x d x}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ um.

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$

Schritt 2.4

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$ um.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - x y e^{- \frac{x^{2}}{2}} = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Sei $u_{1} = - \frac{x^{2}}{2}$ . Dann ist $d u_{1} = - x d x$ , folglich $- \frac{1}{x} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 7.1.1

Es sei $u_{1} = - \frac{x^{2}}{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1.1

Differenziere $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 7.1.1.2

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 7.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{2} (2 x)$

Schritt 7.1.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) x$

Schritt 7.1.1.4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} x$

Schritt 7.1.1.4.3

Kombiniere $\frac{- 2}{2}$ und $x$ .

$\frac{- 2 x}{2}$

Schritt 7.1.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 7.1.1.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2}$

Schritt 7.1.1.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.1.4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Schritt 7.1.1.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.1.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x}{1}$

Schritt 7.1.1.4.4.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$- x$

Schritt 7.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int - \sqrt{- 2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - \int \sqrt{- 2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = e^{u_{1}}$ und $d v = \sqrt{- 2 u_{1}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.4

Vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 7.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.4.4

Kombiniere ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.4.5

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.4.6

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.4.7

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 7.4.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.4.9

Kombiniere ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.4.10

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Schritt 7.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Schritt 7.6

Vereinfache.

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Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Schritt 7.6.2

Mutltipliziere $\int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ mit $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Schritt 7.7

Da $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ aus dem Integral.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.8

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

Schritt 7.9

Vereinfache.

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Schritt 7.9.1

Schreibe $- (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ als $- (- \frac{1}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ um.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{1}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 7.9.2

Vereinfache.

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Schritt 7.9.2.1

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}}}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 7.9.2.2

Kombiniere ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 7.9.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 7.9.2.4

Kombiniere $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ und $e^{u_{1}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

Schritt 7.9.2.5

Addiere $- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ und $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - 0 + C$

Schritt 7.9.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

Schritt 7.9.2.7

Addiere $0$ und $C$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ durch $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ durch $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$