Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - 2 x + 12 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (- 2 x + 12 x^{2}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - 2 x + 12 x^{2} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - 2 x + 12 x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int - 2 x d x + \int 12 x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - 2 \int x d x + \int 12 x^{2} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 12 x^{2} d x$

Schritt 2.3.4

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 12 \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + 12 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{2} x^{2} + 12 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + 12 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + 12 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + 12 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{1} x^{2} + 12 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$y + C_{1} = - x^{2} + 12 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{12}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

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Schritt 2.3.6.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{3 \cdot 4}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{4}{1} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$y + C_{1} = - x^{2} + 4 x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = 4 x^{3} - x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 4 x^{3} - x^{2} + K$