Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} y - 8 x y$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $8 x y$ aus $8 x^{3} y - 8 x y$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $8 x y$ aus $8 x^{3} y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2}) - 8 x y$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $8 x y$ aus $- 8 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2}) + 8 x y (- 1)$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $8 x y$ aus $8 x y (x^{2}) + 8 x y (- 1)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2} - 1^{2})$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 1.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x + 1) (x - 1)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (8 x y (x + 1) (x - 1))$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{y} (x y (x + 1) (x - 1))$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (x y (x + 1) (x - 1))$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x y (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y ((x (x + 1)) (x - 1)))$

Schritt 1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y ((x (x + 1)) (x - 1)))$

Schritt 1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x (x + 1)) (x - 1))$

Schritt 1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x \cdot x + x \cdot 1) (x - 1))$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x^{2} + x \cdot 1) (x - 1))$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x^{2} + x) (x - 1))$

Schritt 1.3.7

Multipliziere $(x^{2} + x) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} (x - 1) + x (x - 1))$

Schritt 1.3.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x (x - 1))$

Schritt 1.3.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Schritt 1.3.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.8.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.8.1.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.3.8.1.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Schritt 1.3.8.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Schritt 1.3.8.1.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Schritt 1.3.8.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Schritt 1.3.8.1.3

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Schritt 1.3.8.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} + x \cdot - 1)$

Schritt 1.3.8.1.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} - 1 \cdot x)$

Schritt 1.3.8.1.6

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} - x)$

Schritt 1.3.8.2

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} + 0 - x)$

Schritt 1.3.8.3

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x)$

Schritt 1.3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3} + 8 (- x)$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3} - 8 x$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = (8 x^{3} - 8 x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 8 x^{3} - 8 x d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{3} - 8 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{3} d x + \int - 8 x d x$

Schritt 2.3.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int x^{3} d x + \int - 8 x d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 8 x d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 8$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 8 \int x d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4}) x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{4} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 2.3.6.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{- 8}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 2.3.6.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{- 4}{1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$ um.

$| y | = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$ als $e^{2 x^{4} - 4 x^{2}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{2 x^{4} - 4 x^{2}} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$